Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 11:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, расписать квадратичный функционал. Или поделитесь ссылкой на материал по данной теме.

Задача следующая: есть уравнение [math]Az=u[/math], где [math]z[/math] -- искомая функция, [math]u[/math] -- заданная функция, [math]A[/math] -- некоторый линейный оператор. Рассматривается функционал невязки[math]\Phi(z) = \left\| Az - u \right\| ^2 + \alpha \left\| z \right\|^2 _{W^1_2}[/math] (где [math]W^1_2[/math] -- пространство Соболева), нужно найти минимум этого функционала (некорректно поставленная задача).
Для начала хочу разобраться с первым слагаемым. В одном из учебников оно расписано следующим образом: [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (A^*Az, z) - 2(A^*u,z) + (u,u)[/math]. Я этот результат хочу получить, делаю пошагово. [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u)^*(Az - u) = z^*A^*Az - u^*Az -z^*A^*u + u^*u[/math]. Как дальше поступить -- сомневаюсь, поскольку не получается совместить два факта: свойства скалярного произведения и свойства линейного оператора.

Подкиньте идеи, пожалуйста. Например, запись [math]z^*A^*Az[/math] тем, что оператор [math]A^*[/math] действует на [math]z^*[/math], и я не могу его "перекинуть". Возможно, посоветуете литературу, которая поможет разобраться в этих вещах.

Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 11:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]z^*[/math], [math]u^*[/math] - что такое?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 12:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan, сопряжённые векторы к [math]z[/math] и [math]u[/math] соответственно. Рассматриваю общий случай.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 12:50 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
swan, сопряжённые векторы к [math]z[/math] и [math]u[/math] соответственно. Рассматриваю общий случай.

А что такое сопряжённые векторы?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 13:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, транспонированные, у которых комплексные компоненты меняются на сопряжённые, то есть если, к примеру, есть вектор-столбец, состоящий из 2 компонент и элемент этого вектора [math]z_{12} = 1 - i[/math], при операции сам вектор преобразуется в вектор-строку, а значение элемента теперь уже [math]z_{21} = 1 + i[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 13:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Я этот результат хочу получить,

Если вы хотите получить тот результат, что вы привели, то
1) Оставляйте те же обозначения. То есть, скалярное произведение обозначайте скобками. Оператор идёт впереди векторов. То есть никаких сопряжённых векторов там нет.
2) Тот результат, который вы хотите получить не верен для общего случая (оператор не обязательно самосопряжённый).
3) Тем не менее, попробуйте получить исправленный результат с использованием символа [math]Re[/math] - действительная часть комплексного числа.
4) Обычно в таких задачах оператор [math]A[/math] всё же самосопряжённый.
5) Для нахождения минимума функционала невязки [math]\Phi (z)[/math] этого будет недостаточно, поскольку у вас там в первом слагаемом одна норма, а во втором другая.


Последний раз редактировалось searcher 15 май 2018, 14:12, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 14:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher,
Цитата:
1) Оставляйте те же обозначения. То есть, скалярное произведение обозначайте скобками. Оператор идёт впереди векторов. То есть никаких сопряжённых векторов там нет.


Тогда не понимаю, как раскрыть скобку [math](Az-u)^*[/math]. Трудности вызывает член [math](Az)*[/math].

Цитата:
2) Тот результат, который вы хотите получить не верен для общего случая (оператор не обязательно самосопряжённый). Вы заметили, что количество членов у вас разное.


Как раз с тем и пришёл, чтобы разобраться. Могли бы Вы пояснить этот момент? У автора задана некоторая прямоугольная матрица [math]A[/math] размера [math]m \times n[/math], вектор [math]z \in \mathbb{R} ^n[/math], а [math]u \in \mathbb{R} ^m[/math].

Цитата:
3) Для нахождения минимума функционала невязки этого будет недостаточно, поскольку у вас там в первом слагаемом одна норма, а во втором другая.


Но я же могу градиент посчитать в пространстве [math]W^{1}_{2}[/math] для всего выражения. Обычно первая часть, до [math]\alpha[/math], берётся в [math]L^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 14:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Тогда не понимаю, как раскрыть скобку [math](Az-u)^*[/math]. Трудности вызывает член [math](Az)*[/math].

Нет там такой скобки. На самом деле квадрат нормы преобразуется как [math](Az-u,Az-u)[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 14:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Как раз с тем и пришёл, чтобы разобраться. Могли бы Вы пояснить этот момент?

А вы бы не могли бы написать то выражение, которое вы хотите доказать именно в том виде, как оно написано у автора?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 15 май 2018, 14:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У автора по-видимому рассматривается действительный случай. Вы же, как я понял из ваших постов, хотите рассмотреть комплексный случай. Поэтому доказываемая формула будет выглядеть чуть по-другому.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 39 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Квадратичный сплайн

в форуме Численные методы

bro123

0

536

04 ноя 2015, 17:18

Квадратичный закон взаимности и квадратичные формы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nickspa

0

292

05 мар 2017, 21:32

Функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ZLeysanochka

2

322

02 апр 2016, 20:38

Найти функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Sykes

2

161

26 окт 2023, 14:50

Максимизирующий функционал p(x)

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

kps

3

315

14 авг 2017, 20:56

Расписать предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NIKITOS

1

215

11 ноя 2016, 09:18

Исследовать на сходимость функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

danilaman

0

352

21 июн 2015, 22:17

Как правильно расписать выражение?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

lc2

1

152

02 апр 2019, 09:34

Расписать решение интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Kandata-sama

7

233

24 май 2019, 22:31

Доказать, что функционал F линейный и непрерывный

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

POPPIE

4

846

11 июн 2014, 19:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved