Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 4 из 4 |
[ Сообщений: 39 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mathfunk |
|
|
Цитата: По определению производной теперь стало наглядно. Спасибо большое! Это производная Фреше записана, верно? Цитата: Отсюда здравая идея дифференцировать сразу этот квадрат, не раскрывая скобки. Если правильно понял, то Вы имеете в виду это: [math]\frac{d}{dz} (Az-u)^* (Az-u) = (Az, (Az - u)) + ((Az - u), Az)) = (Az, Az) - (Az, u) + (Az, Az) - (u, Az) = 2(A^*Az, z) - 2Re(Az, u)[/math] FEBUS, спасибо за рекомендацию! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): searcher, [ Цитата: Отсюда здравая идея дифференцировать сразу этот квадрат, не раскрывая скобки. Если правильно понял, то Вы имеете в виду это: [math]\frac{d}{dz} (Az-u)^* (Az-u) = (Az, (Az - u)) + ((Az - u), Az)) = (Az, Az) - (Az, u) + (Az, Az) - (u, Az) = 2(A^*Az, z) - 2Re(Az, u)[/math] Эта формула неверна. Производная от функции нескольких аргументов (также называемая градиентом) есть вектор. (У вас же это число). Я имел в виду формулу типа [math]\nabla \|Az-u\|^2=2A^*(Az-u)[/math] . Формулу можно получить по правилу дифференцирования сложной функции. Производная от [math]f(z)=\|z\|^2[/math] есть [math]f'(z)=2z[/math] . Убедитесь в этом просто исходя из определения. Производная от [math]g(z)=Az-u[/math] есть [math]g'(z)=A^*[/math] . И тут я вас раньше неправильно информировал, забыв поставить [math]^*[/math] . Производная есть элемент сопряжённого пространства. Иначе у нас просто размерность матрицы не будет годна для умножения на вектор. Однако производная от [math]h(z)=A^*Az[/math] есть также [math]h'(z)=A^*A[/math] , поскольку это самосопряжённый оператор. |
||
Вернуться к началу | ||
sckameikin22 |
|
|
Аргументировано изложено.
|
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, что-то всё перемешалось у меня...
С тем, что я выписал число -- согласен. Но, вообще говоря, [math]\left\| Az - u \right\| ^2[/math] -- это же в любом случае число (норма). Разница в том, что в данной записи я не знаю величину вектора [math]z[/math]. Я это к тому, что моя запись тоже имеет право на существование. Поправьте, пожалуйста, если я не прав. Второй момент -- никак не получается взять в толк, каким образом этот несчастный градиент расписать в общем случае. Также смущает, что переход осуществляется от функционала к функции... Не получается всё это связать. Со случаем [math]\left\| z \right\| ^2[/math] вроде разобрался. По определению производной Фреше получим: [math]\lim_{h \to 0} \frac{|(z+h)^2 - z^2 - A_{z}(h)|}{|h|} = \lim_{h \to 0} \frac{|2zh + h^2 - hf'(z)|}{|h|} = 2z[/math]. С [math]Az - u[/math] и переходом к [math]A^*[/math] мне не так очевидно. Буду признателен помощи. Например, как для [math]Az - u[/math] расписать производную по определению. Пока не понимаю, как это сделать. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): searcher, что-то всё перемешалось у меня... С тем, что я выписал число -- согласен. Но, вообще говоря, [math]\left\| Az - u \right\| ^2[/math] -- это же в любом случае число (норма). Разница в том, что в данной записи я не знаю величину вектора [math]z[/math]. Я это к тому, что моя запись тоже имеет право на существование. Поправьте, пожалуйста, если я не прав. У меня тоже всё перемешалось. Не обязан я всё помнить. Квадрат нормы - это число. А вот производная от неё (градиент) - это уже вектор. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Второй момент -- никак не получается взять в толк, каким образом этот несчастный градиент расписать в общем случае. Также смущает, что переход осуществляется от функционала к функции... Не получается всё это связать. Если производная о сложной функции смущает, то можно попробовать доказать просто по определению. mathfunk писал(а): С [math]Az - u[/math] и переходом к [math]A^*[/math] мне не так очевидно. Буду признателен помощи. Например, как для [math]Az - u[/math] расписать производную по определению. Пока не понимаю, как это сделать. Я думаю, что я сам там напортачил. И звёздочка возникает совсем в другом месте. Разберусь в ближайшее время. Чтобы подсчитать производную от [math]Az - u[/math] для начала можно заметить, что постоянную мы можем не учитывать, поскольку производная от неё равна нулю. Сейчас нет времени ответить вам подробно. Может чуть попозже. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher,
Цитата: У меня тоже всё перемешалось. Не обязан я всё помнить. Квадрат нормы - это число. А вот производная от неё (градиент) - это уже вектор. Прошу прощения, замешательство исключительно к моей персоне относилось, никак не к вам. Вам, наоборот, огромное спасибо за то, что откликаетесь! Я тоже сейчас разбираюсь, взял в помощь рекомендованного Колмогорова, плюс ещё Треногина. Тоже дам знать о своих результатах. А в том учебнике, скриншот страниц которого я делал, градиент вычисляется именно по расписанному скалярному произведению. На самом деле я полагаю, что делать так можно, потому что реально мы работаем со случаем, когда величина [math]z[/math] нам неизвестна. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Наверное, наиболее понятный способ вычислить производную от [math]f(z)=\|Az-u\|^2[/math] в комплексном случае, это действовать по определению. Пусть [math]\delta z[/math] - приращение (дифференциал) аргумента. Вычислим приращение функции [math]f(z+\delta z)-f(z)=\|A(z+\delta z)-u\|^2-\|Az-u\|^2[/math]. Раскроем скобки. Получим 9+4=13 членов. Члены, где [math]\delta z[/math] встречается и слева и справа, учитывать не будем (это бесконечно малые второго порядка). Многие члены сократятся. Результат: [math]2\operatorname{Re}(A^*(Az-u), \delta z)[/math] . Отсюда [math]f'(z)=2\operatorname{Re}[A^*(Az-u)][/math] .
P.S. Понял, что в последнем равенстве я ошибся. Предпоследнее равенство верно. Это дифференциал функции [math]f(z)[/math] - главная линейная часть приращения. А как записать оператором производную - непонятно. А может и не нужно. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, прошу прощения за слоупочность.
Да, наверно, такой вариант очень даже подходит. После преобразований остаётся 5 членов: [math]f(z +\delta z) - f(z) = (Az,A \delta z) + (A \delta z, Az) - (u, A \delta z) - (A \delta z, u) + \\ + (A \delta z, A \delta z) = (A^*Az, \delta z) + (A \delta z, A^*A z) - (A^*u, \delta z) - \\ - ( \delta z, A^*u) + (A \delta z, A \delta z) = 2 Re (A^* (Az - u), \delta z) + \\ + (A \delta z, A \delta z)[/math] откуда выбираем главную линейную часть приращения функционала. Вроде теперь всё более-менее прояснилось. Спасибо Вам огромное за помощь! Ещё вопросы остались по поводу того, каким образом считать градиент в разных пространствах (как в случае с приведённым примером, тут хотел сосредоточиться только на одном слагаемом) и отдельно разобраться с градиентом в пространстве Соболева. Но для этого, пожалуй, имеет смысл открыть отдельную тему. Ещё раз спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 | [ Сообщений: 39 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |