Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 18 май 2018, 16:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher,

Цитата:
По определению производной


теперь стало наглядно. Спасибо большое! Это производная Фреше записана, верно?

Цитата:
Отсюда здравая идея дифференцировать сразу этот квадрат, не раскрывая скобки.


Если правильно понял, то Вы имеете в виду это:

[math]\frac{d}{dz} (Az-u)^* (Az-u) = (Az, (Az - u)) + ((Az - u), Az)) = (Az, Az) - (Az, u) + (Az, Az) - (u, Az) = 2(A^*Az, z) - 2Re(Az, u)[/math]

FEBUS,
спасибо за рекомендацию!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 18 май 2018, 17:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
searcher,
[
Цитата:
Отсюда здравая идея дифференцировать сразу этот квадрат, не раскрывая скобки.

Если правильно понял, то Вы имеете в виду это:
[math]\frac{d}{dz} (Az-u)^* (Az-u) = (Az, (Az - u)) + ((Az - u), Az)) = (Az, Az) - (Az, u) + (Az, Az) - (u, Az) = 2(A^*Az, z) - 2Re(Az, u)[/math]

Эта формула неверна. Производная от функции нескольких аргументов (также называемая градиентом) есть вектор. (У вас же это число). Я имел в виду формулу типа [math]\nabla \|Az-u\|^2=2A^*(Az-u)[/math] . Формулу можно получить по правилу дифференцирования сложной функции. Производная от [math]f(z)=\|z\|^2[/math] есть [math]f'(z)=2z[/math] . Убедитесь в этом просто исходя из определения. Производная от [math]g(z)=Az-u[/math] есть [math]g'(z)=A^*[/math] . И тут я вас раньше неправильно информировал, забыв поставить [math]^*[/math] . Производная есть элемент сопряжённого пространства. Иначе у нас просто размерность матрицы не будет годна для умножения на вектор. Однако производная от [math]h(z)=A^*Az[/math] есть также [math]h'(z)=A^*A[/math] , поскольку это самосопряжённый оператор.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 20 май 2018, 10:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 май 2018, 10:06
Сообщений: 1
Откуда: Питер
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Аргументировано изложено.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 17:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, что-то всё перемешалось у меня...

С тем, что я выписал число -- согласен. Но, вообще говоря, [math]\left\| Az - u \right\| ^2[/math] -- это же в любом случае число (норма). Разница в том, что в данной записи я не знаю величину вектора [math]z[/math]. Я это к тому, что моя запись тоже имеет право на существование. Поправьте, пожалуйста, если я не прав.

Второй момент -- никак не получается взять в толк, каким образом этот несчастный градиент расписать в общем случае. Также смущает, что переход осуществляется от функционала к функции... Не получается всё это связать.

Со случаем [math]\left\| z \right\| ^2[/math] вроде разобрался. По определению производной Фреше получим:

[math]\lim_{h \to 0} \frac{|(z+h)^2 - z^2 - A_{z}(h)|}{|h|} = \lim_{h \to 0} \frac{|2zh + h^2 - hf'(z)|}{|h|} = 2z[/math]. С [math]Az - u[/math] и переходом к [math]A^*[/math] мне не так очевидно. Буду признателен помощи. Например, как для [math]Az - u[/math] расписать производную по определению. Пока не понимаю, как это сделать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 19:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
searcher, что-то всё перемешалось у меня...
С тем, что я выписал число -- согласен. Но, вообще говоря, [math]\left\| Az - u \right\| ^2[/math] -- это же в любом случае число (норма). Разница в том, что в данной записи я не знаю величину вектора [math]z[/math]. Я это к тому, что моя запись тоже имеет право на существование. Поправьте, пожалуйста, если я не прав.

У меня тоже всё перемешалось. Не обязан я всё помнить. Квадрат нормы - это число. А вот производная от неё (градиент) - это уже вектор.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 21 май 2018, 20:04 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Второй момент -- никак не получается взять в толк, каким образом этот несчастный градиент расписать в общем случае. Также смущает, что переход осуществляется от функционала к функции... Не получается всё это связать.

Если производная о сложной функции смущает, то можно попробовать доказать просто по определению.
mathfunk писал(а):
С [math]Az - u[/math] и переходом к [math]A^*[/math] мне не так очевидно. Буду признателен помощи. Например, как для [math]Az - u[/math] расписать производную по определению. Пока не понимаю, как это сделать.

Я думаю, что я сам там напортачил. И звёздочка возникает совсем в другом месте. Разберусь в ближайшее время. Чтобы подсчитать производную от [math]Az - u[/math] для начала можно заметить, что постоянную мы можем не учитывать, поскольку производная от неё равна нулю. Сейчас нет времени ответить вам подробно. Может чуть попозже.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 22 май 2018, 09:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher,
Цитата:
У меня тоже всё перемешалось. Не обязан я всё помнить. Квадрат нормы - это число. А вот производная от неё (градиент) - это уже вектор.

Прошу прощения, замешательство исключительно к моей персоне относилось, никак не к вам. Вам, наоборот, огромное спасибо за то, что откликаетесь!

Я тоже сейчас разбираюсь, взял в помощь рекомендованного Колмогорова, плюс ещё Треногина. Тоже дам знать о своих результатах.

А в том учебнике, скриншот страниц которого я делал, градиент вычисляется именно по расписанному скалярному произведению. На самом деле я полагаю, что делать так можно, потому что реально мы работаем со случаем, когда величина [math]z[/math] нам неизвестна.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 22 май 2018, 16:10 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наверное, наиболее понятный способ вычислить производную от [math]f(z)=\|Az-u\|^2[/math] в комплексном случае, это действовать по определению. Пусть [math]\delta z[/math] - приращение (дифференциал) аргумента. Вычислим приращение функции [math]f(z+\delta z)-f(z)=\|A(z+\delta z)-u\|^2-\|Az-u\|^2[/math]. Раскроем скобки. Получим 9+4=13 членов. Члены, где [math]\delta z[/math] встречается и слева и справа, учитывать не будем (это бесконечно малые второго порядка). Многие члены сократятся. Результат: [math]2\operatorname{Re}(A^*(Az-u), \delta z)[/math] . Отсюда [math]f'(z)=2\operatorname{Re}[A^*(Az-u)][/math] .

P.S. Понял, что в последнем равенстве я ошибся. Предпоследнее равенство верно. Это дифференциал функции [math]f(z)[/math] - главная линейная часть приращения. А как записать оператором производную - непонятно. А может и не нужно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 25 май 2018, 16:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, прошу прощения за слоупочность.

Да, наверно, такой вариант очень даже подходит. После преобразований остаётся 5 членов:

[math]f(z +\delta z) - f(z) = (Az,A \delta z) + (A \delta z, Az) - (u, A \delta z) - (A \delta z, u) + \\
+ (A \delta z, A \delta z) = (A^*Az, \delta z) + (A \delta z, A^*A z) - (A^*u, \delta z) - \\
- ( \delta z, A^*u) + (A \delta z, A \delta z) = 2 Re (A^* (Az - u), \delta z) + \\
+ (A \delta z, A \delta z)[/math]


откуда выбираем главную линейную часть приращения функционала.

Вроде теперь всё более-менее прояснилось. Спасибо Вам огромное за помощь!
Ещё вопросы остались по поводу того, каким образом считать градиент в разных пространствах (как в случае с приведённым примером, тут хотел сосредоточиться только на одном слагаемом) и отдельно разобраться с градиентом в пространстве Соболева. Но для этого, пожалуй, имеет смысл открыть отдельную тему. Ещё раз спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  Страница 4 из 4 [ Сообщений: 39 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Квадратичный сплайн

в форуме Численные методы

bro123

0

536

04 ноя 2015, 17:18

Квадратичный закон взаимности и квадратичные формы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nickspa

0

292

05 мар 2017, 21:32

Функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ZLeysanochka

2

322

02 апр 2016, 20:38

Найти функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Sykes

2

161

26 окт 2023, 14:50

Максимизирующий функционал p(x)

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

kps

3

315

14 авг 2017, 20:56

Расписать предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NIKITOS

1

215

11 ноя 2016, 09:18

Исследовать на сходимость функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

danilaman

0

352

21 июн 2015, 22:17

Как правильно расписать выражение?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

lc2

1

152

02 апр 2019, 09:34

Расписать решение интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Kandata-sama

7

233

24 май 2019, 22:31

Доказать, что функционал F линейный и непрерывный

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

POPPIE

4

846

11 июн 2014, 19:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved