Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 3 из 4 |
[ Сообщений: 39 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Единице. На самом деле единичной матрице. Ну что, вычислили производную? |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher,
Цитата: На самом деле единичной матрице Вот тут тогда тоже вопрос есть. Например, в другой книге функционал в матричном виде (тоже квадрат) записывается следующим образом: [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u)^{T}(Az -u)[/math] Но это приведено к матричному виду. А до этого мы записывали просто в общем виде, правильно понимаю? [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u) (Az -u)[/math] Цитата: Ну что, вычислили производную? Вопрос по поводу того, что я могу поступить вот так [math]\frac{d}{dz} (A^* A z) = A^* A \frac{dz}{dz}[/math] остался открытым. Почему я могу так поступить? У меня тут набор из трёх линейных операторов, но коммутативны ли они? Не понимаю, почему я могу оператор дифференцирования загнать под другие, поменяв порядок... |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Вот тут тогда тоже вопрос есть. Например, в другой книге функционал в матричном виде (тоже квадрат) записывается следующим образом: [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u)^{T}(Az -u)[/math] Но это приведено к матричному виду. А до этого мы записывали просто в общем виде, правильно понимаю? [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u) (Az -u)[/math] Во-первых, первая выражение относится к действительному случаю. Во-вторых в нём скалярное произведение двух векторов [math](Az - u)^{T}[/math] и [math](Az - u)[/math] не обозначено никак. В-третьих, выражение [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u) (Az -u)[/math] у нас не встречалось и оно неправильное. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Цитата: Ну что, вычислили производную? Вопрос по поводу того, что я могу поступить вот так [math]\frac{d}{dz} (A^* A z) = A^* A \frac{dz}{dz}[/math] остался открытым. Почему я могу так поступить? У меня тут набор из трёх линейных операторов, но коммутативны ли они? Не понимаю, почему я могу оператор дифференцирования загнать под другие, поменяв порядок... Если мы запишем линейный оператор [math]f(z)=Bz[/math], то производная от него будет он сам, просто по определению производной. Точнее производная будет оператор [math]B[/math], а [math]Bz[/math] - это значение этого оператора (и нашего исходного) на векторе [math]z[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Первую часть производной от [math]f(z)=(A^*Az,z)[/math] вы уже подсчитали правильно. Вторая часть точно такая же. Итого производная (градиент) равен [math]\nabla f(z)=2A^*Az[/math] .
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Я так понимаю, что производную вы ищете не просто так, а для нахождения минимума некоторого функционала. Вот тут получается загвоздка. Вы решили считать для комплексного случая. Только в комплексном случае непонятно, что такое минимум комплексного функционала. Комплексные числа нельзя сравнивать по величине.
|
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, снова здравствуйте!
Прошу прощения, вчера не получилось ответить. Цитата: [Во-первых, первая выражение относится к действительному случаю. Во-вторых в нём скалярное произведение двух векторов [math](Az−u)^T[/math] и [math](Az−u)[/math] не обозначено никак. В-третьих, выражение [math]\left\| Az−u \right\| ^2 =(Az−u)(Az−u)[/math] у нас не встречалось и оно неправильное. По-моему, дошло. Я имел в виду одно, а написал другое. Хотел написать [math](Az−u, Az−u)[/math], то есть просто скалярное произведение, которое мы расписываем. Если же речь идёт о матрице, то да, [math](Az−u)^T (Az - u)[/math] -- действительный случай, а [math](Az−u)^* (Az -u)[/math] -- комплексный. Вот оттуда и "выросли" у меня сопряжённые векторы. Кстати говоря, вчера в одной книге сопряжённые векторы нашёл, это на самом деле оказались транспонированные векторы с заменой комплексных компонент на сопряжённые. Если интересно, постараюсь ещё раз её найти, на просторах Интернета обнаружил, когда искал информацию по теме. Цитата: Если мы запишем линейный оператор [math]f(z)=Bz[/math] , то производная от него будет он сам, просто по определению производной. Точнее производная будет оператор [math]B[/math] , а [math]Bz[/math] - это значение этого оператора (и нашего исходного) на векторе [math]z[/math]. Этот момент пока не доходит... То есть пока у меня в голове такая картинка, что [math]B[/math] -- это некоторые "чёрный ящик", для которого выполнены аксиомы линейности. Как операцию взятия производной под него "запихнуть" -- всё равно не понимаю. [math]\frac{d}{dz} (A^*Az, z) = A^*Az + (\frac{d}{dz} A^*Az, z)[/math] -- вот во втором слагаемом не понимаю, как [math]\frac{d}{dz} A^*Az = A^*A[/math]. По дифференцированию линейных операторов не удалось найти ничего. Цитата: Я так понимаю, что производную вы ищете не просто так, а для нахождения минимума некоторого функционала. Вот тут получается загвоздка. Вы решили считать для комплексного случая. Только в комплексном случае непонятно, что такое минимум комплексного функционала. Комплексные числа нельзя сравнивать по величине. Да, так и есть. И функционал на самом деле вещественный (речь идёт об измерениях реальных физических величин. Комплексный случай хотел рассмотреть именно по причине того, что он более общий. Комплексные числа можно же сравнить, например, по модулю? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): . По дифференцированию линейных операторов не удалось найти ничего. По определению производной [math]f(z+ \delta z)=f(z)+f'(z) (\delta z)+0(\| \delta z\|)[/math] . Пусть теперь оператор [math]f[/math] линейный. Тогда [math]f(z+ \delta z)=f(z)+f( \delta z)[/math] . Сравнивая, получаем [math]f'(z)=f[/math] . У меня тут действие оператора обозначается как [math]f(z)[/math], хотя для линейных операторов это записывают без скобок: [math]fz[/math]. В нашем случае: [math]A^*Az[/math]. Последний раз редактировалось searcher 18 май 2018, 13:56, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: mathfunk |
||
searcher |
|
|
Насчёт комплексного случая. На самом деле я усложнил. Действительно, выражения типа [math](Az,u)[/math] не обязательно действительны. Но ведь квадрат нормы, который мы дифференцируем, действителен. Отсюда здравая идея дифференцировать сразу этот квадрат, не раскрывая скобки.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: mathfunk |
||
FEBUS |
|
|
mathfunk писал(а): Возможно, посоветуете литературу, которая поможет разобраться в этих вещах. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 39 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |