Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 17 май 2018, 12:42 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Единице.

На самом деле единичной матрице. Ну что, вычислили производную?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 17 май 2018, 13:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher,

Цитата:
На самом деле единичной матрице

Вот тут тогда тоже вопрос есть. Например, в другой книге функционал в матричном виде (тоже квадрат) записывается следующим образом:
[math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u)^{T}(Az -u)[/math]
Но это приведено к матричному виду. А до этого мы записывали просто в общем виде, правильно понимаю?
[math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u) (Az -u)[/math]

Цитата:
Ну что, вычислили производную?


Вопрос по поводу того, что я могу поступить вот так [math]\frac{d}{dz} (A^* A z) = A^* A \frac{dz}{dz}[/math] остался открытым. Почему я могу так поступить? У меня тут набор из трёх линейных операторов, но коммутативны ли они? Не понимаю, почему я могу оператор дифференцирования загнать под другие, поменяв порядок...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 17 май 2018, 14:24 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Вот тут тогда тоже вопрос есть. Например, в другой книге функционал в матричном виде (тоже квадрат) записывается следующим образом:
[math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u)^{T}(Az -u)[/math]
Но это приведено к матричному виду. А до этого мы записывали просто в общем виде, правильно понимаю?
[math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u) (Az -u)[/math]

Во-первых, первая выражение относится к действительному случаю. Во-вторых в нём скалярное произведение двух векторов [math](Az - u)^{T}[/math] и [math](Az - u)[/math] не обозначено никак. В-третьих, выражение [math]\left\| Az - u \right\| ^2 = (Az - u) (Az -u)[/math] у нас не встречалось и оно неправильное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 17 май 2018, 14:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):

Цитата:
Ну что, вычислили производную?


Вопрос по поводу того, что я могу поступить вот так [math]\frac{d}{dz} (A^* A z) = A^* A \frac{dz}{dz}[/math] остался открытым. Почему я могу так поступить? У меня тут набор из трёх линейных операторов, но коммутативны ли они? Не понимаю, почему я могу оператор дифференцирования загнать под другие, поменяв порядок...


Если мы запишем линейный оператор [math]f(z)=Bz[/math], то производная от него будет он сам, просто по определению производной. Точнее производная будет оператор [math]B[/math], а [math]Bz[/math] - это значение этого оператора (и нашего исходного) на векторе [math]z[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 17 май 2018, 15:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первую часть производной от [math]f(z)=(A^*Az,z)[/math] вы уже подсчитали правильно. Вторая часть точно такая же. Итого производная (градиент) равен [math]\nabla f(z)=2A^*Az[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 17 май 2018, 18:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я так понимаю, что производную вы ищете не просто так, а для нахождения минимума некоторого функционала. Вот тут получается загвоздка. Вы решили считать для комплексного случая. Только в комплексном случае непонятно, что такое минимум комплексного функционала. Комплексные числа нельзя сравнивать по величине.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 18 май 2018, 10:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, снова здравствуйте!
Прошу прощения, вчера не получилось ответить.

Цитата:
[Во-первых, первая выражение относится к действительному случаю. Во-вторых в нём скалярное произведение двух векторов [math](Az−u)^T[/math]
и [math](Az−u)[/math]
не обозначено никак. В-третьих, выражение [math]\left\| Az−u \right\| ^2 =(Az−u)(Az−u)[/math]
у нас не встречалось и оно неправильное.


По-моему, дошло. Я имел в виду одно, а написал другое. Хотел написать [math](Az−u, Az−u)[/math], то есть просто скалярное произведение, которое мы расписываем. Если же речь идёт о матрице, то да, [math](Az−u)^T (Az - u)[/math] -- действительный случай, а [math](Az−u)^* (Az -u)[/math] -- комплексный. Вот оттуда и "выросли" у меня сопряжённые векторы. Кстати говоря, вчера в одной книге сопряжённые векторы нашёл, это на самом деле оказались транспонированные векторы с заменой комплексных компонент на сопряжённые. Если интересно, постараюсь ещё раз её найти, на просторах Интернета обнаружил, когда искал информацию по теме.

Цитата:
Если мы запишем линейный оператор [math]f(z)=Bz[/math] , то производная от него будет он сам, просто по определению производной. Точнее производная будет оператор [math]B[/math] , а [math]Bz[/math] - это значение этого оператора (и нашего исходного) на векторе [math]z[/math].


Этот момент пока не доходит... То есть пока у меня в голове такая картинка, что [math]B[/math] -- это некоторые "чёрный ящик", для которого выполнены аксиомы линейности. Как операцию взятия производной под него "запихнуть" -- всё равно не понимаю. [math]\frac{d}{dz} (A^*Az, z) = A^*Az + (\frac{d}{dz} A^*Az, z)[/math] -- вот во втором слагаемом не понимаю, как [math]\frac{d}{dz} A^*Az = A^*A[/math]. По дифференцированию линейных операторов не удалось найти ничего.

Цитата:
Я так понимаю, что производную вы ищете не просто так, а для нахождения минимума некоторого функционала. Вот тут получается загвоздка. Вы решили считать для комплексного случая. Только в комплексном случае непонятно, что такое минимум комплексного функционала. Комплексные числа нельзя сравнивать по величине.


Да, так и есть. И функционал на самом деле вещественный (речь идёт об измерениях реальных физических величин. Комплексный случай хотел рассмотреть именно по причине того, что он более общий. Комплексные числа можно же сравнить, например, по модулю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 18 май 2018, 13:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
. По дифференцированию линейных операторов не удалось найти ничего.

По определению производной [math]f(z+ \delta z)=f(z)+f'(z) (\delta z)+0(\| \delta z\|)[/math] . Пусть теперь оператор [math]f[/math] линейный. Тогда [math]f(z+ \delta z)=f(z)+f( \delta z)[/math] . Сравнивая, получаем [math]f'(z)=f[/math] . У меня тут действие оператора обозначается как [math]f(z)[/math], хотя для линейных операторов это записывают без скобок: [math]fz[/math]. В нашем случае: [math]A^*Az[/math].


Последний раз редактировалось searcher 18 май 2018, 13:56, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
mathfunk
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 18 май 2018, 13:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Насчёт комплексного случая. На самом деле я усложнил. Действительно, выражения типа [math](Az,u)[/math] не обязательно действительны. Но ведь квадрат нормы, который мы дифференцируем, действителен. Отсюда здравая идея дифференцировать сразу этот квадрат, не раскрывая скобки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
mathfunk
 Заголовок сообщения: Re: Расписать квадратичный функционал
СообщениеДобавлено: 18 май 2018, 13:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 мар 2018, 02:28
Сообщений: 1309
Cпасибо сказано: 294
Спасибо получено:
363 раз в 299 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Возможно, посоветуете литературу, которая поможет разобраться в этих вещах.

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 3 из 4 [ Сообщений: 39 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Квадратичный сплайн

в форуме Численные методы

bro123

0

536

04 ноя 2015, 17:18

Квадратичный закон взаимности и квадратичные формы

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

nickspa

0

292

05 мар 2017, 21:32

Функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ZLeysanochka

2

322

02 апр 2016, 20:38

Найти функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Sykes

2

161

26 окт 2023, 14:50

Максимизирующий функционал p(x)

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

kps

3

315

14 авг 2017, 20:56

Расписать предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NIKITOS

1

215

11 ноя 2016, 09:18

Исследовать на сходимость функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

danilaman

0

352

21 июн 2015, 22:17

Как правильно расписать выражение?

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

lc2

1

152

02 апр 2019, 09:34

Расписать решение интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Kandata-sama

7

233

24 май 2019, 22:31

Доказать, что функционал F линейный и непрерывный

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

POPPIE

4

846

11 июн 2014, 19:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved