Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 13:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2018, 13:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, помогите с задачей. Нужно найти функцию из [math]\mathcal{L^2}[/math] преобразование фурье которой не лежит в [math]\mathcal{L^1}[/math] и доказать, что это так. Оч срочно. Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 18:34 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очевидно, что существуют функции, которые принадлежат [math]\boldsymbol{L}^2(R)[/math], но которые не принадлежат [math]\boldsymbol{L}^1(R)[/math]. Например, [math]f(x)=1/(1+x^2)[/math] . Остаётся только взять от данной функции обратное преобразование Фурье. Однако интеграл там получается неприятный. Можно попробовать задавать функцию на разных интервалах разными формулами. Например, [math]f(x)=1[/math] при [math]|x|<1[/math] и [math]f(x)=|x|^{-1}[/math] при [math]|x| \geqslant 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
matveymex
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 20:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2018, 13:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Очевидно, что существуют функции, которые принадлежат [math]\boldsymbol{L}^2(R)[/math], но которые не принадлежат [math]\boldsymbol{L}^1(R)[/math]. Например, [math]f(x)=1|(1+x^2)[/math] . Остаётся только взять от данной функции обратное преобразование Фурье. Однако интеграл там получается неприятный. Можно попробовать задавать функцию на разных интервалах разными формулами. Например, [math]f(x)=1[/math] при [math]|x|<1[/math] и [math]f(x)=|x|^{-1}[/math] при [math]|x| \geqslant 1[/math].

Я такую же функцию привел (вторую), проблема в том, что как доказать, что ее преобразование не будет в [math]\mathcal{L^1}[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 20:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
matveymex писал(а):
Я такую же функцию привел (вторую), проблема в том, что как доказать, что ее преобразование не будет в [math]\mathcal{L^1}[/math] ?

Я о другом писал. Эта функция не принадлежит [math]\boldsymbol{L}^1(R)[/math] . Так от неё надо взять обратное преобразование Фурье, что и будет ответом к задаче. Преобразование Фурье от этого обратного преобразования будет снова описанной функцией.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
matveymex
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 21:22 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разве [math]f(x)=\frac{1}{(1+x^2)}[/math] не принадлежит [math]L^1( \mathbb{R} )[/math]? Может быть, имелось в виду [math]\frac{1}{(1+|x|)}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
matveymex
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 22:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Разве [math]f(x)=\frac{1}{(1+x^2)}[/math] не принадлежит [math]L^1( \mathbb{R} )[/math]? Может быть, имелось в виду [math]\frac{1}{(1+|x|)}[/math]?

Опечатка. Я при наборе забыл корень изобразить.
Правильно [math]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/math]
Квадрат этой функции суммируем на действительной прямой, а сама нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
matveymex
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 30 апр 2018, 23:30 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подходит любая ограниченная финитная функция, которая не эквивалентна (то есть не равна почти всюду) непрерывной. Действительно, если бы ее преобразование Фурье [math]F[/math] лежало в [math]L^1[/math], то обратное преобразование от [math]F[/math] было бы непрерывным.

В качестве конкретного примера можно взять характеристическую функцию отрезка [math][-1;1][/math], преобразование Фурье здесь считается явно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
matveymex
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 13:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 апр 2018, 13:15
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
matveymex писал(а):
Я такую же функцию привел (вторую), проблема в том, что как доказать, что ее преобразование не будет в [math]\mathcal{L^1}[/math] ?

Я о другом писал. Эта функция не принадлежит [math]\boldsymbol{L}^1(R)[/math] . Так от неё надо взять обратное преобразование Фурье, что и будет ответом к задаче. Преобразование Фурье от этого обратного преобразования будет снова описанной функцией.

Огромная проблема, у меня не получаестся нормально взять интеграл, не можете помочь?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 14:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
matveymex писал(а):
Огромная проблема, у меня не получаестся нормально взять интеграл, не можете помочь?

Не понял про что вы. Однако тут на форуме есть специальный раздел по интегралам.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функция из L2, преобразование фурье которой не лежит в L1
СообщениеДобавлено: 01 май 2018, 15:53 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
matveymex писал(а):
Огромная проблема, у меня не получаестся нормально взять интеграл, не можете помочь?

Его и не надо брать (там вылезают спец функции типа интегрального косинуса), достаточно сослаться, например, на теорему Планшереля. Лучше разберитесь с моим примером, он проще и исследуется напрямую без привлечения высокой теории.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
matveymex
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти уравнение прямой, на которой лежит другая сторона угла

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

matkop_500gm

3

390

19 дек 2016, 18:59

Функция для которой f(x + y) = f(x) + f(y)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

famesyasd

1

226

08 окт 2016, 16:24

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

timdeygun

0

496

14 дек 2016, 19:23

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

befree666

0

567

15 май 2014, 00:40

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Ksenobite

2

607

08 июл 2016, 13:11

Преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Wersel

2

810

18 июн 2014, 21:10

Казуальное преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Archij

0

605

24 июл 2015, 16:45

Выполнить преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Forlock

1

136

27 май 2023, 09:26

Найти преобразование Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

StaroKep

0

601

26 янв 2017, 02:58

Преобразование Фурье для функции

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

w0nna

3

384

14 июн 2023, 08:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved