Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Atatushka |
|
|
1. Найти спектр оператора [math]A\epsilon L(C[1;2])[/math], если [math](Ax)(t)=x(t)t^2[/math]. 2. Найти спектр оператора [math]A\epsilon L(L_2[0;2])[/math], если [math](Ax)(t)=x(t)[/math] при [math]0\leqslant t \leqslant 1[/math] [math](Ax)(t)=\frac{x(t)}{t}[/math] при [math]1\leqslant t \leqslant 2[/math] 3. Пусть [math]A\epsilon L(L_2[0;\pi])[/math]; [math](Ax)(s)=\int_0^\pi k(s,t)x(t) dx; \quad k(s,t)=\cos(s-2t)[/math]; Найти норму [math]\|A\|[/math] и спектр оператора [math]A[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Как в первой так и во второй задаче оператор - умножение на функцию. Спектр таких операторов в данных пространствах равен множеству значений этих функций.
В первой задаче спектр совпадает с отрезком [1,4] Во второй задаче спектр совпадает с отрезком [1/2,1] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Atatushka |
||
Atatushka |
|
|
Это правильное решение?
1)[math]A:C[1,2]\to C[1,2][/math] [math]\|A\|=4[/math] [math]x(t)t^2-\lambdax(t)=y(t)[/math] следовательно [math]x(t)=\frac{y(t)}{t^2-\lambda}[/math] при [math]t=\lambda, t=-\lambda[/math] x(t) не принадлежит C[1,2] и [math]t\epsilon[1,2][/math] следовательно x(t)-непрер. для любого [math]t\epsilon[1,2][/math] и для всех лямда не принадлежащих [1.2]и[-2.-1] следовательно сууществует обратный, и он огр(по теореме Хана-Банаха об обратном операторе), следовательно такие лямды -это множество регулярных точек, дополнение к этому множеству:[1,2][-2,-1]-это спектр. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Это правильно. Именно, надо рассмотреть те ситуации, когда обратный оператор не ограничен.
|
||
Вернуться к началу | ||
Atatushka |
|
|
а у вас в ответе на 1 задание спектр [1.4]
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Да, правильно. Спектр [1,4]
Если [math]\lambda \in [1,4][/math], то обратный оператор не ограничен. Вы же сами написали формулу [math]x\left( t \right) = \frac{{y\left( t \right)}}{{t^2 - \lambda }}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Atatushka |
||
Atatushka |
|
|
а точно))спасибо большое)))я там ошиблась в выборе лямды(
|
||
Вернуться к началу | ||
Atatushka |
|
|
А не подскажите как быть с интегральным оператором?
Этот оператор вполне-непрерывный(поскольку ядро непрерывно); Рассмотрим (A-lamdaI)x=0 найдем лямды-это и будет весь спектр(в теории так написано, только не понятно почему). Дальше затруднение в подсчете интеграла(под интергалом cos(t-2s)x(t)). |
||
Вернуться к началу | ||
Atatushka |
|
|
А не))все посчитала))
Спасибо за помощь |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Интересно, что у Вас получилось. У меня так
Ваш оператор конечномерный. Его можно представить в виде [math]\left( {Ax} \right)\left( s \right) = \int\limits_0^\pi {x\left( t \right)\cos 2t\;dt} \cdot \cos s + \int\limits_0^\pi {x\left( t \right)\sin 2t\;dt} \cdot \sin s[/math] Если обозначить [math]u = \cos 2t[/math] [math]v=\sin 2t[/math] , то действие оператора можно записать в виде [math]Ax = \left( {x,u} \right) \cdot \cos s + \left( {x,v} \right) \cdot \sin s[/math] (*) Где круглые скобки обозначают скалярное произведение Оценим [math]\left\| {Ax} \right\|^2 = \left( {Ax,Ax} \right)[/math]. С учётом ортогональности [math]\cos s[/math] и [math]\sin s[/math], и применяя неравенство Коши, получим [math]\left\| {Ax} \right\|^2 = \frac{\pi }{2}\left( {\left| {\left( {x,u} \right)} \right|^2 + \left| {\left( {x,v} \right)} \right|^2 } \right) \leqslant \frac{\pi }{2}\left\| x \right\|^2 \left( {\left\| u \right\|^2 + \left\| v \right\|^2 } \right) = \frac{{\pi ^2 }}{2}\left\| x \right\|^2[/math] Так получаем оценку нормы оператора [math]\left\| A \right\| \leqslant \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi[/math] Для оценки этой нормы снизу, выберем функцию [math]x\left( t \right) = \cos 2t + \sin 2t[/math] Тогда [math]\left( {Ax} \right)\left( s \right) = \frac{\pi }{2}\left( {\cos s + \sin s} \right)[/math] [math]\left\| {Ax} \right\|^2 = \frac{{\pi ^3 }}{4}[/math] [math]\left\| x \right\|^2 = \frac{\pi }{2}[/math] Поэтому [math]\left\| A \right\| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi[/math] Т.к. оператор конечномерен, то его спектр дискретен и состоит из конечного числа собственных чисел. Исходя из представления (*) оператора, заключаем: во-первых, точка 0 является собственным числом бесконечной кратности (собственное пространство состоит из функций ортогональных функциям u и v); во-вторых не нулевым собственным числам отвечают функции вида [math]x\left( t \right) = a\cos t + b\sin t[/math]. Для таких функций уравнение на собственные числа [math]Ax = \lambda x[/math] примет вид [math]\frac{4}{3}a\sin t - \frac{2}{3}b\sin t = \lambda \left( {a\cos t + b\sin t} \right)[/math] Отсюда спектр оператора: [math]\lambda _{1,2} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}i[/math] и [math]\lambda=0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |