Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 14 май 2011, 13:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 окт 2010, 16:37
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста решить задачи :cry: , и если возможно с более подробным решением :)

1. Найти спектр оператора [math]A\epsilon L(C[1;2])[/math], если [math](Ax)(t)=x(t)t^2[/math].

2. Найти спектр оператора [math]A\epsilon L(L_2[0;2])[/math], если
[math](Ax)(t)=x(t)[/math] при [math]0\leqslant t \leqslant 1[/math]
[math](Ax)(t)=\frac{x(t)}{t}[/math] при [math]1\leqslant t \leqslant 2[/math]

3. Пусть [math]A\epsilon L(L_2[0;\pi])[/math];

[math](Ax)(s)=\int_0^\pi k(s,t)x(t) dx; \quad k(s,t)=\cos(s-2t)[/math];

Найти норму [math]\|A\|[/math] и спектр оператора [math]A[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 14 май 2011, 21:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как в первой так и во второй задаче оператор - умножение на функцию. Спектр таких операторов в данных пространствах равен множеству значений этих функций.
В первой задаче спектр совпадает с отрезком [1,4]
Во второй задаче спектр совпадает с отрезком [1/2,1]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Atatushka
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 12:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 окт 2010, 16:37
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это правильное решение?
1)[math]A:C[1,2]\to C[1,2][/math]
[math]\|A\|=4[/math]
[math]x(t)t^2-\lambdax(t)=y(t)[/math] следовательно [math]x(t)=\frac{y(t)}{t^2-\lambda}[/math]
при [math]t=\lambda, t=-\lambda[/math] x(t) не принадлежит C[1,2]
и
[math]t\epsilon[1,2][/math] следовательно x(t)-непрер. для любого [math]t\epsilon[1,2][/math] и
для всех лямда не принадлежащих [1.2]и[-2.-1]
следовательно сууществует обратный, и он огр(по теореме Хана-Банаха об обратном операторе), следовательно такие лямды -это множество регулярных точек, дополнение к этому множеству:[1,2][-2,-1]-это спектр.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 18:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это правильно. Именно, надо рассмотреть те ситуации, когда обратный оператор не ограничен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 18:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 окт 2010, 16:37
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а у вас в ответе на 1 задание спектр [1.4]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 18:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, правильно. Спектр [1,4]
Если [math]\lambda \in [1,4][/math], то обратный оператор не ограничен. Вы же сами написали формулу
[math]x\left( t \right) = \frac{{y\left( t \right)}}{{t^2 - \lambda }}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Atatushka
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 18:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 окт 2010, 16:37
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а точно))спасибо большое)))я там ошиблась в выборе лямды(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 15 май 2011, 21:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 окт 2010, 16:37
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А не подскажите как быть с интегральным оператором? :oops:
Этот оператор вполне-непрерывный(поскольку ядро непрерывно);
Рассмотрим (A-lamdaI)x=0 найдем лямды-это и будет весь спектр(в теории так написано, только не понятно почему).
Дальше затруднение в подсчете интеграла(под интергалом cos(t-2s)x(t)).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 16 май 2011, 11:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 окт 2010, 16:37
Сообщений: 26
Cпасибо сказано: 13
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А не))все посчитала))
Спасибо за помощь :thanks:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти спектр и норму оператора
СообщениеДобавлено: 16 май 2011, 12:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Интересно, что у Вас получилось. У меня так
Ваш оператор конечномерный. Его можно представить в виде
[math]\left( {Ax} \right)\left( s \right) = \int\limits_0^\pi {x\left( t \right)\cos 2t\;dt} \cdot \cos s + \int\limits_0^\pi {x\left( t \right)\sin 2t\;dt} \cdot \sin s[/math]
Если обозначить [math]u = \cos 2t[/math] [math]v=\sin 2t[/math] , то действие оператора можно записать в виде
[math]Ax = \left( {x,u} \right) \cdot \cos s + \left( {x,v} \right) \cdot \sin s[/math] (*)
Где круглые скобки обозначают скалярное произведение
Оценим [math]\left\| {Ax} \right\|^2 = \left( {Ax,Ax} \right)[/math]. С учётом ортогональности [math]\cos s[/math] и [math]\sin s[/math], и применяя неравенство Коши, получим
[math]\left\| {Ax} \right\|^2 = \frac{\pi }{2}\left( {\left| {\left( {x,u} \right)} \right|^2 + \left| {\left( {x,v} \right)} \right|^2 } \right) \leqslant \frac{\pi }{2}\left\| x \right\|^2 \left( {\left\| u \right\|^2 + \left\| v \right\|^2 } \right) = \frac{{\pi ^2 }}{2}\left\| x \right\|^2[/math]
Так получаем оценку нормы оператора
[math]\left\| A \right\| \leqslant \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi[/math]
Для оценки этой нормы снизу, выберем функцию [math]x\left( t \right) = \cos 2t + \sin 2t[/math]
Тогда
[math]\left( {Ax} \right)\left( s \right) = \frac{\pi }{2}\left( {\cos s + \sin s} \right)[/math]
[math]\left\| {Ax} \right\|^2 = \frac{{\pi ^3 }}{4}[/math]
[math]\left\| x \right\|^2 = \frac{\pi }{2}[/math]
Поэтому
[math]\left\| A \right\| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi[/math]
Т.к. оператор конечномерен, то его спектр дискретен и состоит из конечного числа собственных чисел. Исходя из представления (*) оператора, заключаем: во-первых, точка 0 является собственным числом бесконечной кратности (собственное пространство состоит из функций ортогональных функциям u и v); во-вторых не нулевым собственным числам отвечают функции вида [math]x\left( t \right) = a\cos t + b\sin t[/math]. Для таких функций уравнение на собственные числа [math]Ax = \lambda x[/math] примет вид
[math]\frac{4}{3}a\sin t - \frac{2}{3}b\sin t = \lambda \left( {a\cos t + b\sin t} \right)[/math]
Отсюда спектр оператора:
[math]\lambda _{1,2} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}i[/math] и [math]\lambda=0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти спектр оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nastyakn

0

502

23 май 2018, 15:34

Найти спектр интегрального оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

BlackIce

1

1350

23 июн 2014, 14:51

Найти спектр и резольвенту оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Dasha8547

1

1094

25 дек 2016, 18:01

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Venerar

6

483

09 янв 2018, 15:38

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

2

687

21 апр 2015, 20:29

Найти норму оператора в L2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

1

1007

30 май 2014, 13:18

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Kulich

0

315

26 май 2019, 12:43

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Tanya2015

3

919

22 янв 2015, 20:35

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mercu

0

413

05 фев 2020, 20:21

Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

dair

7

1361

08 июн 2014, 13:06


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved