Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 15:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 14:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Хочу явным образом показать, что последовательность

[math]x_n (t) = \left\{\!\begin{aligned}
& -1, t \in [-1, -\frac{1}{n}] \\
& nt, t \in [-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}] \\
& 1, t \in [\frac{1}{n}, 1]
\end{aligned}\right.[/math]


сходится на отрезке [math][-1,1][/math] в пространстве [math]\widetilde{L_2}[/math] в среднем к функции

[math]x (t) =\left\{\!\begin{aligned}
& -1, t \in [-1,0) \\
& 0, t=0 \\
& 1, t \in (0,1]
\end{aligned}\right.[/math]


Загвоздка заключается в вычислении функции, к которой сходится последовательность на каждом из интервалов. С теми интервалами, на которых члены последовательности не меняются (принимают значения -1 и 1) вроде бы сложностей нет. Для этих случаев я получаю [math](\lim_{n \to \infty} \int\limits_{-1}^{-\frac{1}{n}} (x_n - x)^2 dt)^\frac{1}{2}= 0[/math] (для случая -1, например) и могу воспользоваться тем, что интеграл будет равен нулю, когда подынтегральное выражение равно нулю. В случае с [math]nt[/math] не очень понимаю, как поступить:
[math](\lim_{n \to \infty} \int\limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} (nt - x)^2 dt)^\frac{1}{2}= (\lim_{n \to \infty}(\frac{n^2t^3}{3}\left.{ }\right|_{ -\frac{1}{n} }^{\frac{1}{n}} - \int\limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} 2ntx dt + \int\limits_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} x^2 dt))^\frac{1}{2}=0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 16:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3964
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
591 раз в 561 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Загвоздка заключается в вычислении функции, к которой сходится последовательность на каждом из интервалов.

Вы же перед этим эту функцию выписали - [math]x(t)=...[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 16:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 14:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, это конечный результат в учебнике, а я хочу сам к этому прийти.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 17:10 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 4002
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Там же поточечная сходимость.
А вообще поскольку интервал на котором функция равна nt стремится к нулю, а сама функция ограничена, то на значение интеграла этот кусок не повлияет. Сами подумайте как строго оформить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3964
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
591 раз в 561 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Загвоздка заключается в вычислении функции, к которой сходится последовательность на каждом из интервалов.

Фраза бессмысленная, поскольку интервалы изменяются с ростом [math]n[/math].
mathfunk писал(а):
Загвоздка заключается в вычислении функции, к которой сходится последовательность

Эту функцию вы не "вычислите" (не знаю, какой смысл вы вкладываете в это слово). Тут надо догадаться о виде этой функции. Затем доказать сходимость к ней нашей последовательности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 18:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 14:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher,
Цитата:
Эту функцию вы не "вычислите" (не знаю, какой смысл вы вкладываете в это слово). Тут надо догадаться о виде этой функции. Затем доказать сходимость к ней нашей последовательности.

Вообще я хотел, пользуясь определением сходимости в среднем, найти значение функции для каждого интервала. В данном случае догадаться можно о том, к чему сходится последовательность, но что делать, если угадать мы не можем. К сожалению, придумать такую последовательность не могу, но наверняка такие существуют. И возникает вопрос, как действовать в таких случаях? Дана последовательность, но к какой функции она сходится, определить не удаётся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость в среднем
СообщениеДобавлено: 06 фев 2018, 18:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3964
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
591 раз в 561 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
но что делать, если угадать мы не можем. К сожалению, придумать такую последовательность не могу, но наверняка такие существуют. И возникает вопрос, как действовать в таких случаях?

Когда это произойдёт, я подумаю над ответом на ваш вопрос. Пока ничего сказать не могу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теорема о среднем?

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

2

303

02 апр 2015, 14:48

Теоремы о среднем

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

_vadik_

0

403

28 окт 2013, 17:59

Теорема о среднем

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

0

103

26 янв 2016, 18:11

Теорема о среднем

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

1

120

27 янв 2016, 21:54

Первая теорема о среднем

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

0

148

26 янв 2016, 18:30

Приложение и смысл теоремы о среднем

в форуме Интегральное исчисление

brom

6

189

17 июн 2017, 23:52

Вероятность при среднем квадратичном отклонении

в форуме Теория вероятностей

Arseni1995

1

128

13 мар 2017, 21:19

Вторая теорема о среднем значении функции

в форуме Интегральное исчисление

Finn_parnichka

1

88

13 янв 2018, 23:45

В пожарную часть в среднем поступает 6 вызовов

в форуме Теория вероятностей

mashanaumenko

0

194

08 ноя 2015, 15:19

Сколько в среднем придется проверить лампочек

в форуме Теория вероятностей

Crossproi

2

1219

04 ноя 2012, 18:17


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved