Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 21:05 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу прощения за неясность формулировок. Правильнее было бы написать, что каждая частная производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}[/math] непрерывно продолжаема на замыкание [math]\overline{G}[/math] области определения [math]G[/math]. Иными словами, существует непрерывная на [math]\overline{G}[/math] функция, совпадающая с [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}[/math] на [math]G[/math]. Я думал, что этот момент и так понятен, ведь сама функция, как я написал вначале, определена лишь на [math]G[/math], соответственно только на [math]G[/math] может быть определена ее производная, а на [math]\overline{G}[/math] уже доопределена по непрерывности.

Tantan писал(а):
Разве можно какая то функция не определена в какая то точка, но непрерывна в ее?!

Я вообще ничего не говорил про непрерывность в точке. Только на множестве.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 21:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 1083
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
311 раз в 297 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Я вообще ничего не говорил про непрерывность в точке. Только на множестве."
По моему если функция непрерывна на множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множестве !

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 23:14 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
если функция непрерывна на множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множестве

Справедливо, но только для открытого множества. Непрерывность в точке подразумевает, что функция определена в ее окрестности.

Теперь вернемся к делу. Я нашел доказательство этой теоремы для выпуклой ограниченной области [math]G[/math]. Если каждая производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_i}[/math] непрерывна на замкнутом ограниченном множестве [math]\overline{G}[/math], то она ограничена на нем, а также на его подмножестве [math]G[/math]. Используя ограниченность производных, докажем равномерную непрерывность самой функции на [math]G[/math].

Пусть [math]x \in G[/math] и [math](x + \Delta x) \in G[/math]. Тогда [math]f(x + \Delta x) - f(x) = \varphi (1)
- \varphi (0)[/math]
, где [math]\varphi (t) = f(x+ t \cdot \Delta x)[/math]. Здесь мы использовали выпуклость области [math]G[/math], чтобы функция [math]\varphi (t)[/math] была определена на всем отрезке [math][0,1][/math]. По теореме Лагранжа [math]\varphi (1) - \varphi (0) = \varphi ' ( \theta )[/math], где [math]0 < \theta < 1[/math]. Тогда, вычисляя производную, получаем [math]f(x + \Delta x) - f(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} (x+ \theta \cdot \Delta x) \cdot \Delta x_i[/math].

Так как производные ограничены на [math]G[/math], то найдется [math]M > 0[/math], такое что для всех [math]i \in \overline{1,n}[/math] будет верно [math]\left| \frac{\partial f}{\partial x_i} \right| \leqslant M[/math]. Тогда:

[math]\left| f(x + \Delta x) - f(x) \right| \leqslant n \cdot M \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \left| \Delta x_i \right| \right) = O\left( \left| \Delta x \right| \right)[/math]. Это и означает равномерную непрерывность [math]f(x)[/math] на [math]G[/math]. Следовательно, в любой точке границы области [math]G[/math] существует конечный предел, то есть [math]f(x)[/math] непрерывно продолжаема на [math]\overline{G}[/math]. Ч.т.д.

Я подозреваю, что теорему можно обобщить на неограниченное выпуклое множество. Также мне кажется, что для произвольной области теорема неверна. Подбираю контрпример.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 23:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 1083
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
311 раз в 297 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Справедливо, но только для открытого множества. Непрерывность в точке подразумевает, что функция определена в ее окрестности" , надо допольнить "...принадлежащей этого множестве"(реч идет об окрестности!).
Разве если f(x) = x, которая непрерывна в [0;1]( это замкнутое множество на действительной оси) не будет непрерывна в каждой точки [0;1] - включая 0 и 1!?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 02 фев 2018, 14:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
"Справедливо, но только для открытого множества. Непрерывность в точке подразумевает, что функция определена в ее окрестности" , надо допольнить "...принадлежащей этого множестве"(реч идет об окрестности!).

Хорошо, хорошо, сдаюсь. Можно разными определениями пользоваться. Например, если рассматривать область определения функции [math]G[/math] как отдельное топологическое пространство, то можно сказать, что функция будет непрерывна в каждой его точке, потому что тогда у каждой точки из [math]G[/math] будет какая-нибудь окрестность. Возьмем отрезок [math][0,1][/math]. Подмножество [math][0, \varepsilon )[/math] будет окрестностью точки [math]0[/math] в пространстве [math]D = [0,1][/math], но не будет окрестностью [math]0[/math] в пространстве [math]\mathbb{R}[/math]. В своих формулировках пространством я считаю [math]\mathbb{R}^n[/math], а область определения всего лишь его подмножеством, поэтому для меня функция не определена ни в одной окрестности граничной точки. Говоря, что функция определения должна быть определена в окрестности точки, я как раз требую, чтобы ее область определения содержала какую-нибудь окрестность этой точки в [math]\mathbb{R}^n[/math]. Так нас учили в институте.

Tantan писал(а):
Разве если f(x) = x, которая непрерывна в [0;1]( это замкнутое множество на действительной оси) не будет непрерывна в каждой точки [0;1] - включая 0 и 1!?

Согласно моим определениям, не будет, как ни странно. Ведь она не определена в окрестностях точек [math]0[/math] и [math]1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 02 фев 2018, 23:48 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нашел контрпример! Функция имеет производную в области, производная имеет конечный предел во всех граничных точках, а сама функция — нет.

Рассмотрим область [math]G = \left\{ \left.{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 }\right| x^2 + y^2 > 1, \ x \ne 0 \ \ if \ \ y > 0 \right\}[/math].

Изображение

Синей линией обозначена граница.

На данной области определим функцию [math]f(x,y)[/math] следующим образом.

[math]f(x,y) = \left\{\!\begin{aligned}
& \operatorname{arctg}\left( \frac{y}{x} \right), \ \ x>0 \\
& \operatorname{arctg}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi, \ \ x<0 \\
& -\frac{\pi}{2}, \ \ x=0
\end{aligned}\right.[/math]


При [math]x \ne 0[/math] производные вычисляются по правилам дифференцирования.

[math]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2}[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2}[/math]

При [math]x=0 \ \left( y<0 \right)[/math] производная ищется по правилу Лопиталя. [math]\frac{\partial f}{\partial x} (0,y) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,y)-f(0,y)}{x}[/math].

[math]\lim_{x \to +0} f(x,y)-f(0,y) = \lim_{x \to +0} \operatorname{arctg}\left( \frac{y}{x} \right) + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0[/math]

[math]\lim_{x \to -0} f(x,y)-f(0,y) = \lim_{x \to +0} \operatorname{arctg}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \pi + \frac{\pi}{2} = 0[/math]

Таким образом, [math]\lim_{x \to 0} f(x,y)-f(0,y) = 0[/math]. Тогда по правилу Лопиталя [math]\lim_{x \to 0} \frac{f(x,y)-f(0,y)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = \lim_{x \to 0} \frac{-y}{x^2+y^2} =
\frac{-1}{y}[/math]
.

Другая производная: [math]\frac{\partial f}{\partial y} (0,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0[/math].

Очевидно, производные непрерывны на [math]\overline{G}[/math]. Однако, [math]f(x,y)[/math] имеет разрыв на [math]\overline{G}[/math] при [math]x=0, \ y>0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 03 фев 2018, 04:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 1083
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
311 раз в 297 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\frac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \frac{\partial }{\partial y}(-\frac{ \pi }{ 2 } ) =0[/math]!?

[math]\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{ \pi }{ 2 } )[/math] - здесь о какая функция , о какая точка идет слова?

И что будет с производным когда и [math]x\longrightarrow 0[/math] и [math]y\longrightarrow 0[/math] одновременно ?
Когда расматривается непрерывност функции от несколькох аргументов в данной точки, то разсматривается движение всех аргументов к данной точки одновременно .
Функция непрерывна в (x0,y0) , если для [math]\forall[/math] [math]\varepsilon > 0[/math] , [math]\exists \delta > 0[/math] , такое что , если [math]\left| x-x0 \right| < \delta[/math] и [math]\left| y-y0 \right| < \delta[/math], то [math]\left| f(x,y) - f(x0,y0)\right| < \boldsymbol{\varepsilon}[/math] или Вы понимаете что то другое под непрерывности в случае функции нескольких переменных?!
К чему идет у Вас [math]\lim_{\substack{ x \to 0 \\ y \to 0 }} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)[/math], а
[math]\lim_{\substack{ x \to 0 \\ y \to 0 }} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)[/math] когда [math]x\longrightarrow 0 \land x < 0[/math], а когда [math]x\longrightarrow 0 \land x > 0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 03 фев 2018, 11:11 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
[math]\frac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \frac{\partial }{\partial y}(-\frac{ \pi }{ 2 } ) =0[/math]!?

[math]\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{ \pi }{ 2 } )[/math] - здесь о какая функция , о какая точка идет слова?

Речь идет о функции, тождественно равной [math]-\frac{ \pi }{ 2 }[/math], то есть константе. Она рассматривается в любой точке [math](0, y)[/math] из множества [math]G[/math].

Tantan писал(а):
И что будет с производным когда и [math]x\longrightarrow 0[/math] и [math]y\longrightarrow 0[/math] одновременно ?

Точка [math](0,0)[/math] не принадлежит ни области определения [math]G[/math], ни ее замыканию [math]\overline{G}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 03 фев 2018, 13:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 1083
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
311 раз в 297 сообщениях
Очков репутации: 79

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Tantan писал(а):
[math]\frac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \frac{\partial }{\partial y}(-\frac{ \pi }{ 2 } ) =0[/math]!?

[math]\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{ \pi }{ 2 } )[/math] - здесь о какая функция , о какая точка идет слова?

Речь идет о функции, тождественно равной [math]-\frac{ \pi }{ 2 }[/math], то есть константе. Она рассматривается в любой точке [math](0, y)[/math] из множества [math]G[/math].

Tantan писал(а):
И что будет с производным когда и [math]x\longrightarrow 0[/math] и [math]y\longrightarrow 0[/math] одновременно ?

Точка [math](0,0)[/math] не принадлежит ни области определения [math]G[/math], ни ее замыканию [math]\overline{G}[/math].

Да-а извините - я уснулся! Действително (0,0) не принадлижить множестве! Проблема в другом ! Вы говорите что [math]\boldsymbol{x}= 0[/math] не принадлежит [math]\boldsymbol{G}[/math] т.е. Ваша област определении функция f(x,y) исключает х=0, а в тоже време определяете f(0,y) = [math]-\frac{ \pi }{ 2 }[/math] ? Какая то путаница получаеться! А дальше и вверх этом какие то производные разсматриваете в точки (0,у) каторые согласно вашем определении множестве [math]\boldsymbol{G}[/math] - НЕ ПРИНАДЛЕЖИТЬ ЕГО!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 03 фев 2018, 21:32 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 548
Cпасибо сказано: 66
Спасибо получено:
174 раз в 162 сообщениях
Очков репутации: 33

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan,
внимательно посмотрите на определение [math]G[/math]. Я даже рисунок сделал. Это множество содержи точки с [math]x = 0[/math] при отрицательных значениях [math]y[/math].

Tantan писал(а):
Вы говорите что [math]\boldsymbol{x}= 0[/math] не принадлежит [math]\boldsymbol{G}[/math] т.е. Ваша област определении функция f(x,y) исключает х=0

Такого я не писал. [math]x \ne 0[/math] только при положительных [math]y[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Непрерывность и равномерная непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

0

80

24 дек 2017, 23:46

Непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Knyazhe

1

17

Вчера, 21:32

Непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Karamka

2

103

18 апр 2018, 14:36

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Aigul4ik

1

225

29 окт 2013, 21:44

Предел и непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ipman222

0

115

15 май 2014, 22:25

Непрерывность функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kira +

1

197

09 окт 2013, 09:54

Непрерывность функции на R

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kucher

0

62

22 окт 2016, 22:23

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

NoiR333

1

83

14 дек 2016, 14:08

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Marry_Stuart

3

290

06 окт 2013, 14:07

Непрерывность функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kira +

1

183

09 окт 2013, 09:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot], swan и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved