Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 22 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Space |
|
|
Следует ли из этого, что сама функция непрерывна на [math]\overline{G}[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Возник следующий вопрос. Есть функция [math]n[/math] переменных [math]f(x) = f(x_1,..,x_n)[/math], определенная в области [math]G \subset \mathbb{R}^n[/math]. Также известно, что ее частная производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_1}[/math] непрерывна на замыкании области определения [math]\overline{G}[/math], то есть во всех точках [math]\overline{G}[/math] она имеет конечный предел. Следует ли из этого, что сама функция непрерывна на [math]\overline{G}[/math]? Нет - не следует! Пусть f(x,y) = [math]\frac{ xy }{ x^{2} + y^{2} }[/math], для [math]x^{2}+y^{2} \ne 0[/math] и f(0,0)=0 [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] и [math]\frac{\partial f}{\partial y}[/math] существуют, но [math]\lim_{n \to \infty }f(\frac{ 1 }{ n },\frac{ 1 }{ n } ) = \frac{ 1 }{ 2 } \ne f(0,0)[/math] P.S. Для удовлетворения всех Ваши условия пусть она будеть определенная в замкнутом единичном круге, а в нему [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] существует и непрерывна! |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Tantan писал(а): P.S. Для удовлетворения всех Ваши условия пусть она будеть определенная в замкнутом единичном круге, а в нему [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] существует и непрерывна! Боюсь, все же частная производная не будет непрерывна в точке [math](0, 0)[/math]. [math]f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}[/math] [math]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2+y^2)-2x^2y}{(x^2+y^2)^2}[/math] В [math](0,0)[/math] предела [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] не существует. Это легко показать следующим образом. [math]\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \frac{1}{y}[/math], не имеет конечного предела при [math]y \to 0[/math]. В то же время [math]\frac{\partial f}{\partial x}(x,0) \equiv 0[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Частная производная в каком смысле?
Вот функция [math]f(x_1, x_2) = sign(x_2)[/math] подойдет как пример? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали: Space |
||
Space |
|
|
Slon писал(а): Частная производная в каком смысле? Вот функция [math]f(x_1, x_2) = sign(x_2)[/math] подойдет как пример? В самом деле! Странно, что такой простой контрпример не пришел в голову. Стоит дополнить условие задачи. Пусть все частные производные определены на [math]G[/math] и непрерывны на [math]\overline{G}[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Slon писал(а): Частная производная в каком смысле? Вот функция [math]f(x_1, x_2) = sign(x_2)[/math] подойдет как пример? В самом деле! Странно, что такой простой контрпример не пришел в голову. Стоит дополнить условие задачи. Пусть все частные производные определены на [math]G[/math] и непрерывны на [math]\overline{G}[/math]. Да тогда f([math]x_{1},...,x_{n}[/math]), будет непрерыны в G, eсть такая теорема! Смотри например у "Курс диференциального и интегрального исчисления" т.I , Г.М.Фихтенгольца т.178, стр. 380, издание 7 ! Там разыскивается только открытую област!А А для контрапримеры подходят и [math]\frac{ x^{2}y }{ x^{2}+y^{2} }[/math] и [math]\sqrt{\left| xy \right| }[/math]. Последний раз редактировалось Tantan 01 фев 2018, 16:31, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: Space |
||
Space |
|
|
Благодарю, но непрерывность функции внутри области довольно очевидна при сделанных предположениях. Меня интересует поведение функции на границе.
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Благодарю, но непрерывность функции внутри области довольно очевидна при сделанных предположениях. Меня интересует поведение функции на границе. Разве так много очевидна!? В доказательстве упомянатую теорему говориться только об выпольнении условия в некоторая окрестности конкретную точку! А если ети условия выполненых в некоторые окрестности каждой точке [math]\in \overline{G}[/math] , не будут выполненый в самом [math]\overline{G}[/math]?! |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Дело в том, что [math]\overline{G}[/math] замкнуто и не каждая его точка является внутренней, если только это не все пространство. На границе частные производные вообще не определены, известно лишь, что они имеют конечный предел.
|
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
Space писал(а): Дело в том, что [math]\overline{G}[/math] замкнуто и не каждая его точка является внутренней, если только это не все пространство. На границе частные производные вообще не определены, известно лишь, что они имеют конечный предел. Как же так - "На границе частные производные вообще не определены", когда Вы писали - "Также известно, что ее частная производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_{1} }[/math] непрерывна на замыкании области определения [math]\overline{G}" ![/math]? А после даже добавили что все частные производны непрерывны на замыкании области определения [math]\overline{G}.[/math] Разве можно какая то функция не определена в какая то точка, но непрерывна в ее?! По моему это абсурд! |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: Space |
||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 22 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |