Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 13:03 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 477
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
151 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возник следующий вопрос. Есть функция [math]n[/math] переменных [math]f(x) = f(x_1,..,x_n)[/math], определенная в области [math]G \subset \mathbb{R}^n[/math]. Также известно, что ее частная производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_1}[/math] непрерывна на замыкании области определения [math]\overline{G}[/math], то есть во всех точках [math]\overline{G}[/math] она имеет конечный предел.

Следует ли из этого, что сама функция непрерывна на [math]\overline{G}[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 13:20 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 682
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
174 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 66

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Возник следующий вопрос. Есть функция [math]n[/math] переменных [math]f(x) = f(x_1,..,x_n)[/math], определенная в области [math]G \subset \mathbb{R}^n[/math]. Также известно, что ее частная производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_1}[/math] непрерывна на замыкании области определения [math]\overline{G}[/math], то есть во всех точках [math]\overline{G}[/math] она имеет конечный предел.

Следует ли из этого, что сама функция непрерывна на [math]\overline{G}[/math]?

Нет - не следует! Пусть f(x,y) = [math]\frac{ xy }{ x^{2} + y^{2} }[/math], для [math]x^{2}+y^{2} \ne 0[/math] и f(0,0)=0
[math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] и [math]\frac{\partial f}{\partial y}[/math] существуют, но
[math]\lim_{n \to \infty }f(\frac{ 1 }{ n },\frac{ 1 }{ n } ) = \frac{ 1 }{ 2 } \ne f(0,0)[/math]

P.S. Для удовлетворения всех Ваши условия пусть она будеть определенная в замкнутом единичном круге, а в нему [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] существует и непрерывна!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 14:10 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 477
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
151 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
P.S. Для удовлетворения всех Ваши условия пусть она будеть определенная в замкнутом единичном круге, а в нему [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] существует и непрерывна!


Боюсь, все же частная производная не будет непрерывна в точке [math](0, 0)[/math].

[math]f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2+y^2)-2x^2y}{(x^2+y^2)^2}[/math]

В [math](0,0)[/math] предела [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] не существует. Это легко показать следующим образом. [math]\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \frac{1}{y}[/math], не имеет конечного предела при [math]y \to 0[/math]. В то же время [math]\frac{\partial f}{\partial x}(x,0) \equiv 0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 14:35 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 611
Cпасибо сказано: 24
Спасибо получено:
145 раз в 135 сообщениях
Очков репутации: 29

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Частная производная в каком смысле?
Вот функция [math]f(x_1, x_2) = sign(x_2)[/math] подойдет как пример?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Slon "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 16:22 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 477
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
151 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Частная производная в каком смысле?
Вот функция [math]f(x_1, x_2) = sign(x_2)[/math] подойдет как пример?


В самом деле! Странно, что такой простой контрпример не пришел в голову.

Стоит дополнить условие задачи. Пусть все частные производные определены на [math]G[/math] и непрерывны на [math]\overline{G}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 17:18 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 682
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
174 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 66

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Slon писал(а):
Частная производная в каком смысле?
Вот функция [math]f(x_1, x_2) = sign(x_2)[/math] подойдет как пример?


В самом деле! Странно, что такой простой контрпример не пришел в голову.

Стоит дополнить условие задачи. Пусть все частные производные определены на [math]G[/math] и непрерывны на [math]\overline{G}[/math].


Да тогда f([math]x_{1},...,x_{n}[/math]), будет непрерыны в G, eсть такая теорема! Смотри например у "Курс диференциального и интегрального исчисления" т.I , Г.М.Фихтенгольца т.178, стр. 380, издание 7 ! Там разыскивается только открытую област!А
А для контрапримеры подходят и [math]\frac{ x^{2}y }{ x^{2}+y^{2} }[/math] и [math]\sqrt{\left| xy \right| }[/math].


Последний раз редактировалось Tantan 01 фев 2018, 17:31, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 17:28 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 477
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
151 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Благодарю, но непрерывность функции внутри области довольно очевидна при сделанных предположениях. Меня интересует поведение функции на границе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 17:44 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 682
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
174 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 66

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Благодарю, но непрерывность функции внутри области довольно очевидна при сделанных предположениях. Меня интересует поведение функции на границе.

Разве так много очевидна!? :) В доказательстве упомянатую теорему говориться только об выпольнении условия в некоторая окрестности конкретную точку! А если ети условия выполненых в некоторые окрестности каждой точке [math]\in \overline{G}[/math] , не будут выполненый в самом [math]\overline{G}[/math]?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 18:19 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 477
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
151 раз в 142 сообщениях
Очков репутации: 27

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дело в том, что [math]\overline{G}[/math] замкнуто и не каждая его точка является внутренней, если только это не все пространство. На границе частные производные вообще не определены, известно лишь, что они имеют конечный предел.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Непрерывность на замыкании
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 20:39 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 14:50
Сообщений: 682
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
174 раз в 164 сообщениях
Очков репутации: 66

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Дело в том, что [math]\overline{G}[/math] замкнуто и не каждая его точка является внутренней, если только это не все пространство. На границе частные производные вообще не определены, известно лишь, что они имеют конечный предел.


Как же так - "На границе частные производные вообще не определены", когда Вы писали - "Также известно, что ее частная производная [math]\frac{\partial f}{\partial x_{1} }[/math] непрерывна на замыкании области определения [math]\overline{G}" ![/math]? А после даже добавили что все частные производны непрерывны на замыкании области определения [math]\overline{G}.[/math] Разве можно какая то функция не определена в какая то точка, но непрерывна в ее?! По моему это абсурд!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
Space
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Непрерывность и равномерная непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

md_house

0

48

24 дек 2017, 23:46

Непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Karamka

2

74

18 апр 2018, 14:36

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Marry_Stuart

3

286

06 окт 2013, 14:07

Непрерывность функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Aigul4ik

0

108

15 дек 2013, 22:33

Непрерывность производной

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Isajan

5

618

14 янв 2014, 19:51

Предел и непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ipman222

0

112

15 май 2014, 22:25

Линейность и непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

111111

1

280

21 июл 2014, 23:46

Непрерывность функции

в форуме Дифференциальное исчисление

magicmagic

1

128

25 ноя 2014, 22:16

Исследовать на непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lllulll

3

172

04 янв 2014, 19:15

Непрерывность функции #2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lockyst

0

43

01 май 2018, 17:41


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved