Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 2 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу Пред. 1, 2 |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Если Вас не затруднит, уделите, пожалуйста, минуту времени просмотру, вопрос формулируется начиная примерно с 03:45. Я посмотрел. А в чём заключается ваш вопрос ко мне? Если вопрос в том, что mathfunk писал(а): Как раз и смутил тот факт, что опираться-то не на что, То смотрите моё сообщение searcher писал(а): Если самостоятельно доказать это не удастся, то откройте любой учебник и прочтите на этот счёт теоремку, каким свойствам должна обладать норма, чтобы она порождалась скалярным произведением - тождество параллелограмма. Какие у вас трудности на этом пути, я не понял. Если трудность в том, что mathfunk писал(а): мы рассматриваем норму в смысле \sqrt{f(t), f(t)} , то нет. В этом неравенстве мы рассматриваем стандартную исходную норму пространства [math]C[a,b][/math]. Там ещё нет скалярного произведения. И об этом я уже писал. searcher писал(а): Не понял смысл вашей нормы. Пока речь идёт о стандартной норме в C[a,b] Вы вообще понимаете, какая в этом пространстве норма? Опишите подробнее ваши трудности и в чём состоит вопрос ко мне. И опишите, как вы понимаете норму в [math]C[a,b][/math]. Боюсь, что в этом вся трудность. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, из того, что предложили Вы, я понял, что оперируем мы с нормой вида [math]\left\| f(x) \right\|_{C[a,b]} = max \left| f(x) \right|[/math] при [math]x \in [a,b][/math]. Она удовлетворяет требованиям нормы и ставит в соответствие каждой функции из [math]C[a,b][/math] число.
Пока писал, посетила следующая мысль. То есть вопрос из видео заключается в том, что нужно показать, что ввести скалярное произведение нельзя, а для доказательства мы пользуемся тождеством параллелограмма, являющееся критерием "евклидовости" пространства? Параллельно ещё возник вопрос, каким образом вообще возникают выражения для нормы? Обычно в учебниках это сопровождается фразой "введём и проверим, что введённое соотношение удовлетворяет аксиомам". И откуда возникает скалярное произведение в [math]C[a,b][/math] в форме [math]\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x) dx[/math]? Это тоже нечто априорное, как и в случае со скалярным произведением в [math]\mathbb{R} ^n[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
Slon |
|
|
Я вмешаюсь, уважаемый ТС, есть пространство всех непрерывных функций из отезка [math][a; b][/math] в [math]R[/math] обозначаемое [math]C([a; b])[/math]. Далее, на нем можно ввести кучу разных норм, в том числе пару "красивых": [math]||f||_\infty=max{f(x)|x\in[a; b]}[/math] и [math]||f||_2=\int_a^bf^2(x)dx[/math]. Ворая норма порождается скалярным произвидением [math]<f,g>_2=\int_a^bf(x)g(x)dx[/math], в этом плане с ней все нормально. А первая нет, это и нужно показать, то есть нету такого билинейного и со всем свойствами скалярного произведения отображения [math]<> \,\colon C([a;b])\times C([a;b])\to R[/math], чтоы для всех [math]f\in C([a;b])[/math] выполнялось [math]||f||_\infty=\sqrt{<f,f>}[/math].
И вот чтобы это докаать, Вам не нужно перебирать все возможные скалярные произведения и смотреть оно или не оно, а воспользоваться классной подсказкой, что если бы такое скалярное произведение сущетвовало, то [math]||f||_\infty[/math] удовлетворяло бы тождеству паралелограма (гуглите если что), но оно не удослетворяет, что Вам и стоит показать. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): То есть вопрос из видео заключается в том, что нужно показать, что ввести скалярное произведение нельзя, а для доказательства мы пользуемся тождеством параллелограмма, являющееся критерием "евклидовости" пространства? Да. Точнее. Как бы мы ни вводили скалярное произведение, норма, которая ею порождается, будет отлична от исходной нормы в [math]C[a,b][/math] (с максимумом). mathfunk писал(а): И откуда возникает скалярное произведение в [math]C[a,b][/math] в форме [math]\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x) dx[/math]? Это тоже нечто априорное, как и в случае со скалярным произведением в [math]\mathbb{R} ^n[/math]? Оно там не возникает. Если в [math]C[a,b][/math] ввести скалярное произведение по такой формуле, то это уже будет совсем другое пространство, и обозначаться оно будет по-другому, например так [math]CL_2[a,b][/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Slon писал(а): Я вмешаюсь, уважаемый ТС, есть пространство всех непрерывных функций из отезка [a; b] в R обозначаемое C([a;b]) В нашей ветке речь идёт про нормированное пространство [math]C[a,b][/math], в котором есть одна и только одна норма. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, спасибо большое! Теперь всё понял. Не в ту сторону понесло сначала.
Slon, тоже спасибо за пояснение, для меня очень полезно. Вообще, пользуясь случаем, хочу обратиться с просьбой порекомендовать литературу, чтобы свободнее себя чувствовать в функциональном анализе. В данный момент мне это нужно для того, чтобы разобраться с некорректно поставленными задачами, а глобальная цель -- чётко и ясно понимать все эти абстракции. В теме была отсылка к Колмогорову с Фоминым, но всегда удобно изучать одну и ту же тему в разных изложениях. Вообще в этом плане понравились лекции Опойцева на Youtube (позволяют "врубиться", идею лучше понять). Если подскажете литературную цепочку от концептуального к серьёзным вещам, буду очень признателен! Задачники тоже разные попадались, тем не менее тоже будет здорово, если вы своими рекомендациями поделитесь. Всем ещё раз спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Slon писал(а): Я вмешаюсь, уважаемый ТС, есть пространство всех непрерывных функций из отезка [math][a; b][/math] в [math]R[/math] обозначаемое [math]C([a; b])[/math]. Далее, на нем можно ввести кучу разных норм, Ссылочку можно? |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Если подскажете литературную цепочку от концептуального к серьёзным вещам, буду очень признателен! Я не чувствую себя достаточно компетентным рекомендовать цепочку. Если сильно надо, откройте отдельную тему. В качестве серьёзных вещей могу порекомендовать "Лекции по функциональному анализу" Пугачёва и "Действительный и функциональный анализ" Богачёва и Смолянова. Там же есть задачи. Материал для начального изучения у вас вроде есть (те же видеолекции, Колмогоров и Фомин). Если нет - пишите. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, да, Колмогоров-Фомин есть. Спасибо большое за помощь и рекомендованную литературу!:)
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу Пред. 1, 2 | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать, что формула задаёт в X скалярное произведение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
209 |
15 апр 2020, 18:06 |
|
Вычислить векторное произведение и скалярное произведение | 8 |
957 |
28 янв 2016, 14:46 |
|
Скалярное произведение | 3 |
168 |
18 ноя 2023, 16:26 |
|
Скалярное произведение
в форуме Геометрия |
4 |
167 |
28 окт 2021, 19:24 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
228 |
02 май 2020, 14:03 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
289 |
24 май 2020, 15:13 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
312 |
30 апр 2019, 14:17 |
|
Скалярное произведение | 1 |
353 |
30 сен 2018, 01:09 |
|
Скалярное произведение | 7 |
359 |
10 янв 2023, 18:23 |
|
Скалярное произведение и перемножение
в форуме Геометрия |
1 |
257 |
01 янв 2016, 15:50 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |