Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 23:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3868
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
572 раз в 543 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Если Вас не затруднит, уделите, пожалуйста, минуту времени просмотру, вопрос формулируется начиная примерно с 03:45.

Я посмотрел. А в чём заключается ваш вопрос ко мне? Если вопрос в том, что
mathfunk писал(а):
Как раз и смутил тот факт, что опираться-то не на что,

То смотрите моё сообщение
searcher писал(а):
Если самостоятельно доказать это не удастся, то откройте любой учебник и прочтите на этот счёт теоремку, каким свойствам должна обладать норма, чтобы она порождалась скалярным произведением - тождество параллелограмма.

Какие у вас трудности на этом пути, я не понял. Если трудность в том, что
mathfunk писал(а):
мы рассматриваем норму в смысле \sqrt{f(t), f(t)}
, то нет. В этом неравенстве мы рассматриваем стандартную исходную норму пространства [math]C[a,b][/math]. Там ещё нет скалярного произведения. И об этом я уже писал.
searcher писал(а):
Не понял смысл вашей нормы. Пока речь идёт о стандартной норме в C[a,b]

Вы вообще понимаете, какая в этом пространстве норма?
Опишите подробнее ваши трудности и в чём состоит вопрос ко мне. И опишите, как вы понимаете норму в [math]C[a,b][/math]. Боюсь, что в этом вся трудность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 09:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 14:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, из того, что предложили Вы, я понял, что оперируем мы с нормой вида [math]\left\| f(x) \right\|_{C[a,b]} = max \left| f(x) \right|[/math] при [math]x \in [a,b][/math]. Она удовлетворяет требованиям нормы и ставит в соответствие каждой функции из [math]C[a,b][/math] число.

Пока писал, посетила следующая мысль. То есть вопрос из видео заключается в том, что нужно показать, что ввести скалярное произведение нельзя, а для доказательства мы пользуемся тождеством параллелограмма, являющееся критерием "евклидовости" пространства?

Параллельно ещё возник вопрос, каким образом вообще возникают выражения для нормы? Обычно в учебниках это сопровождается фразой "введём и проверим, что введённое соотношение удовлетворяет аксиомам". И откуда возникает скалярное произведение в [math]C[a,b][/math] в форме [math]\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x) dx[/math]? Это тоже нечто априорное, как и в случае со скалярным произведением в [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 11:53 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
14 дек 2017, 18:48
Сообщений: 810
Cпасибо сказано: 29
Спасибо получено:
192 раз в 175 сообщениях
Очков репутации: 30

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я вмешаюсь, уважаемый ТС, есть пространство всех непрерывных функций из отезка [math][a; b][/math] в [math]R[/math] обозначаемое [math]C([a; b])[/math]. Далее, на нем можно ввести кучу разных норм, в том числе пару "красивых": [math]||f||_\infty=max{f(x)|x\in[a; b]}[/math] и [math]||f||_2=\int_a^bf^2(x)dx[/math]. Ворая норма порождается скалярным произвидением [math]<f,g>_2=\int_a^bf(x)g(x)dx[/math], в этом плане с ней все нормально. А первая нет, это и нужно показать, то есть нету такого билинейного и со всем свойствами скалярного произведения отображения [math]<> \,\colon C([a;b])\times C([a;b])\to R[/math], чтоы для всех [math]f\in C([a;b])[/math] выполнялось [math]||f||_\infty=\sqrt{<f,f>}[/math].
И вот чтобы это докаать, Вам не нужно перебирать все возможные скалярные произведения и смотреть оно или не оно, а воспользоваться классной подсказкой, что если бы такое скалярное произведение сущетвовало, то [math]||f||_\infty[/math] удовлетворяло бы тождеству паралелограма (гуглите если что), но оно не удослетворяет, что Вам и стоит показать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 12:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3868
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
572 раз в 543 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
То есть вопрос из видео заключается в том, что нужно показать, что ввести скалярное произведение нельзя, а для доказательства мы пользуемся тождеством параллелограмма, являющееся критерием "евклидовости" пространства?

Да. Точнее. Как бы мы ни вводили скалярное произведение, норма, которая ею порождается, будет отлична от исходной нормы в [math]C[a,b][/math] (с максимумом).
mathfunk писал(а):
И откуда возникает скалярное произведение в [math]C[a,b][/math] в форме [math]\int\limits_{a}^{b} f(x) g(x) dx[/math]? Это тоже нечто априорное, как и в случае со скалярным произведением в [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

Оно там не возникает. Если в [math]C[a,b][/math] ввести скалярное произведение по такой формуле, то это уже будет совсем другое пространство, и обозначаться оно будет по-другому, например так [math]CL_2[a,b][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 12:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3868
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
572 раз в 543 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Я вмешаюсь, уважаемый ТС, есть пространство всех непрерывных функций из отезка [a; b] в R обозначаемое C([a;b])

В нашей ветке речь идёт про нормированное пространство [math]C[a,b][/math], в котором есть одна и только одна норма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 12:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 14:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, спасибо большое! Теперь всё понял.:) Не в ту сторону понесло сначала.
Slon, тоже спасибо за пояснение, для меня очень полезно.

Вообще, пользуясь случаем, хочу обратиться с просьбой порекомендовать литературу, чтобы свободнее себя чувствовать в функциональном анализе. В данный момент мне это нужно для того, чтобы разобраться с некорректно поставленными задачами, а глобальная цель -- чётко и ясно понимать все эти абстракции. В теме была отсылка к Колмогорову с Фоминым, но всегда удобно изучать одну и ту же тему в разных изложениях. Вообще в этом плане понравились лекции Опойцева на Youtube (позволяют "врубиться", идею лучше понять). Если подскажете литературную цепочку от концептуального к серьёзным вещам, буду очень признателен! Задачники тоже разные попадались, тем не менее тоже будет здорово, если вы своими рекомендациями поделитесь.

Всем ещё раз спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 14:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3868
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
572 раз в 543 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slon писал(а):
Я вмешаюсь, уважаемый ТС, есть пространство всех непрерывных функций из отезка [math][a; b][/math] в [math]R[/math] обозначаемое [math]C([a; b])[/math]. Далее, на нем можно ввести кучу разных норм,

Ссылочку можно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 31 янв 2018, 14:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 3868
Cпасибо сказано: 39
Спасибо получено:
572 раз в 543 сообщениях
Очков репутации: 133

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Если подскажете литературную цепочку от концептуального к серьёзным вещам, буду очень признателен!

Я не чувствую себя достаточно компетентным рекомендовать цепочку. Если сильно надо, откройте отдельную тему. В качестве серьёзных вещей могу порекомендовать "Лекции по функциональному анализу" Пугачёва и "Действительный и функциональный анализ" Богачёва и Смолянова. Там же есть задачи. Материал для начального изучения у вас вроде есть (те же видеолекции, Колмогоров и Фомин). Если нет - пишите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 01 фев 2018, 10:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 14:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, да, Колмогоров-Фомин есть. Спасибо большое за помощь и рекомендованную литературу!:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Скалярное произведение(серия заданий) Векторное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AnarchyCat

2

769

30 сен 2012, 23:32

Вычислить векторное произведение и скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

GRAND799

8

307

28 янв 2016, 15:46

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

stesha11111

1

751

27 фев 2014, 20:48

Скалярное произведение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

aleksskay

3

412

28 янв 2014, 15:35

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Happy_End

1

242

30 янв 2013, 08:55

Скалярное произведение векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

YoungMathematician

5

135

23 дек 2017, 13:23

C2 по математике(скалярное произведение)

в форуме Геометрия

Foundate

1

188

15 дек 2014, 18:55

Скалярное произведение и перемножение

в форуме Геометрия

Gadimli

1

126

01 янв 2016, 16:50

Задача про скалярное произведение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

alena_lep

1

257

28 дек 2013, 15:38

Скалярное произведение векторов

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Kto_Kto_Tanya

1

257

12 ноя 2014, 20:06


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved