Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mathfunk |
|
|
Помогите, пожалуйста, разобраться со скалярным произведением в [math]C[a,b][/math]. Хочу доказать, что в этом пространстве нельзя ввести скалярное произведение таким образом, чтобы в нём была задана евклидова норма [math]\left\| f(x)_{C[a,b]} \right\| = \sqrt{\left( f(x), f(x) \right) }[/math]. То есть для доказательства мне достаточно найти одно условие, которое позволит утверждать, что данное выражение не является нормой. Тем не менее, какая именно из аксиом нормы не выполняется, мне установить не удаётся: норма, введённая таким образом, неотрицательна и равна нулю в том случае, если [math]f(x) = 0[/math], из свойства линейности скалярного произведения следует, что выполняется и условие [math]\left\| \alpha \cdot f(x) \right\| = \left| \alpha \right| \left\| f(x) \right\|[/math], неравенство треугольника можно доказать пользуясь неравенством Коши-Буняковского. Получается, что все аксиомы выполнены... Помогите найти ошибку. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Хочу доказать, что в этом пространстве нельзя ввести скалярное произведение таким образом, чтобы в нём была задана евклидова норма [math]\left\| f(x)_{C[a,b]} \right\| = \sqrt{\left( f(x), f(x) \right) }[/math]. Не то вы хотите доказать. Вам надо доказать, что нельзя ввести скалярное произведение, которое порождало исходную норму в [math]C[a,b][/math]. Какое бы вы скалярное произведение ни ввели, оно всегда будет порождать норму. Вот только норма эта будет не такой, какая нам требуется. Последний раз редактировалось searcher 30 янв 2018, 15:30, всего редактировалось 2 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Если самостоятельно доказать это не удастся, то откройте любой учебник и прочтите на этот счёт теоремку, каким свойствам должна обладать норма, чтобы она порождалась скалярным произведением - тождество параллелограмма.
|
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, идею уловить удалось (надеюсь): норма должна подчиняться евклидовой геометрии. Но продемонстрировать, что это в случае пространства непрерывных функций не выполняется, не получается. Точнее получается, что это тождество выполнено.
Предполагаю, что нужно просто в качестве примера взять 2 непрерывные функции. Для наглядности. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): Точнее получается, что это тождество выполнено.Предполагаю, что нужно просто в качестве примера взять 2 непрерывные функции. Для наглядности Возьмите две функции с единичной нормой так, чтобы их сумма также была функция с единичной нормой. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
searcher писал(а): Возьмите две функции с единичной нормой так, чтобы их сумма также была функция с единичной нормой. Но это не обязательно, хотя прокатывает. Посмотрел Колмогорова-Фомина. Там в качестве функций берутся [math]f(t)=\sin t[/math], [math]g(t)=\cos t[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
searcher писал(а): Возьмите две функции с единичной нормой так, чтобы их сумма также была функция с единичной нормой. В данном случае (тут ещё как выбрать функции, но можно тут их так выбрать) [math]\|f\|=1[/math], [math]\|g\|=1[/math], [math]\|f+g\|=1[/math], [math]\|f-g\|=2[/math]. И [math]\|f+g\|^2+\|f-g\|^2=5 \ne 2(\|f\|^2+\|g\|^2)=4[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, ммм... не понимаю, как получаются значения нормы такие. В том смысле, что мы рассматриваем норму в смысле [math]\sqrt{f(t), f(t)}[/math], то есть тогда я просто получу следующие выражения (вместо чисел): [math]\left\| f(t) \right\| = \left| \sin{t} \right|[/math], [math]\left\| g(t) \right\| = \left| \cos{t} \right|[/math], [math]\left\| f(t) + g(t) \right\| = \left| 1 + \sin{2 \cdot t} \right|[/math], [math]\left\| f(t) - g(t) \right\| = \left| 1 - \sin{2 \cdot t} \right|[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
mathfunk писал(а): searcher, ммм... не понимаю, как получаются значения нормы такие. В том смысле, что мы рассматриваем норму в смысле [math]\sqrt{f(t), f(t)}[/math], Не понял смысл вашей нормы. Пока речь идёт о стандартной норме в [math]C[a,b][/math]. Там ещё супремум по промежутку [math][a,b][/math]. Значение нормы - это число, а не функция. |
||
Вернуться к началу | ||
mathfunk |
|
|
searcher, наверно, я некорректно вопрос сформулировал. Наткнулся я на него при просмотре этой лекции. Если Вас не затруднит, уделите, пожалуйста, минуту времени просмотру, вопрос формулируется начиная примерно с 03:45. Я понял, что требуется, пользуясь аксиомами скалярного произведения, доказать, что ввести его в форме [math]\sqrt{f(x) \cdot g(x)}[/math] в [math]C[a,b][/math] нельзя. Как раз и смутил тот факт, что опираться-то не на что, если это произвольная функция, характеристики нет никакой...
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказать, что формула задаёт в X скалярное произведение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
209 |
15 апр 2020, 18:06 |
|
Вычислить векторное произведение и скалярное произведение | 8 |
957 |
28 янв 2016, 14:46 |
|
Скалярное произведение | 3 |
168 |
18 ноя 2023, 16:26 |
|
Скалярное произведение
в форуме Геометрия |
4 |
167 |
28 окт 2021, 19:24 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
5 |
228 |
02 май 2020, 14:03 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
6 |
289 |
24 май 2020, 15:13 |
|
Скалярное произведение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
312 |
30 апр 2019, 14:17 |
|
Скалярное произведение | 1 |
353 |
30 сен 2018, 01:09 |
|
Скалярное произведение | 7 |
359 |
10 янв 2023, 18:23 |
|
Скалярное произведение и перемножение
в форуме Геометрия |
1 |
257 |
01 янв 2016, 15:50 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |