Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 14:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться со скалярным произведением в [math]C[a,b][/math]. Хочу доказать, что в этом пространстве нельзя ввести скалярное произведение таким образом, чтобы в нём была задана евклидова норма [math]\left\| f(x)_{C[a,b]} \right\| = \sqrt{\left( f(x), f(x) \right) }[/math].
То есть для доказательства мне достаточно найти одно условие, которое позволит утверждать, что данное выражение не является нормой. Тем не менее, какая именно из аксиом нормы не выполняется, мне установить не удаётся: норма, введённая таким образом, неотрицательна и равна нулю в том случае, если [math]f(x) = 0[/math], из свойства линейности скалярного произведения следует, что выполняется и условие [math]\left\| \alpha \cdot f(x) \right\| = \left| \alpha \right| \left\| f(x) \right\|[/math], неравенство треугольника можно доказать пользуясь неравенством Коши-Буняковского. Получается, что все аксиомы выполнены... Помогите найти ошибку.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 15:12 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4146
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
622 раз в 588 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Хочу доказать, что в этом пространстве нельзя ввести скалярное произведение таким образом, чтобы в нём была задана евклидова норма [math]\left\| f(x)_{C[a,b]} \right\| = \sqrt{\left( f(x), f(x) \right) }[/math].

Не то вы хотите доказать. Вам надо доказать, что нельзя ввести скалярное произведение, которое порождало исходную норму в [math]C[a,b][/math]. Какое бы вы скалярное произведение ни ввели, оно всегда будет порождать норму. Вот только норма эта будет не такой, какая нам требуется.


Последний раз редактировалось searcher 30 янв 2018, 15:30, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 15:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4146
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
622 раз в 588 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если самостоятельно доказать это не удастся, то откройте любой учебник и прочтите на этот счёт теоремку, каким свойствам должна обладать норма, чтобы она порождалась скалярным произведением - тождество параллелограмма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 17:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, идею уловить удалось (надеюсь): норма должна подчиняться евклидовой геометрии. Но продемонстрировать, что это в случае пространства непрерывных функций не выполняется, не получается. Точнее получается, что это тождество выполнено.

Предполагаю, что нужно просто в качестве примера взять 2 непрерывные функции. Для наглядности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 17:13 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4146
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
622 раз в 588 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
Точнее получается, что это тождество выполнено.Предполагаю, что нужно просто в качестве примера взять 2 непрерывные функции. Для наглядности

Возьмите две функции с единичной нормой так, чтобы их сумма также была функция с единичной нормой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4146
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
622 раз в 588 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Возьмите две функции с единичной нормой так, чтобы их сумма также была функция с единичной нормой.

Но это не обязательно, хотя прокатывает. Посмотрел Колмогорова-Фомина. Там в качестве функций берутся [math]f(t)=\sin t[/math], [math]g(t)=\cos t[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 17:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4146
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
622 раз в 588 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Возьмите две функции с единичной нормой так, чтобы их сумма также была функция с единичной нормой.

В данном случае (тут ещё как выбрать функции, но можно тут их так выбрать) [math]\|f\|=1[/math], [math]\|g\|=1[/math], [math]\|f+g\|=1[/math], [math]\|f-g\|=2[/math]. И [math]\|f+g\|^2+\|f-g\|^2=5 \ne 2(\|f\|^2+\|g\|^2)=4[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 18:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, ммм... не понимаю, как получаются значения нормы такие. В том смысле, что мы рассматриваем норму в смысле [math]\sqrt{f(t), f(t)}[/math], то есть тогда я просто получу следующие выражения (вместо чисел): [math]\left\| f(t) \right\| = \left| \sin{t} \right|[/math], [math]\left\| g(t) \right\| = \left| \cos{t} \right|[/math], [math]\left\| f(t) + g(t) \right\| = \left| 1 + \sin{2 \cdot t} \right|[/math], [math]\left\| f(t) - g(t) \right\| = \left| 1 - \sin{2 \cdot t} \right|[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 19:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4146
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
622 раз в 588 сообщениях
Очков репутации: 139

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mathfunk писал(а):
searcher, ммм... не понимаю, как получаются значения нормы такие. В том смысле, что мы рассматриваем норму в смысле [math]\sqrt{f(t), f(t)}[/math],

Не понял смысл вашей нормы. Пока речь идёт о стандартной норме в [math]C[a,b][/math]. Там ещё супремум по промежутку [math][a,b][/math]. Значение нормы - это число, а не функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать, что в C[a,b] скалярное произведение неевклидово
СообщениеДобавлено: 30 янв 2018, 21:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 янв 2018, 13:48
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher, наверно, я некорректно вопрос сформулировал. Наткнулся я на него при просмотре этой лекции. Если Вас не затруднит, уделите, пожалуйста, минуту времени просмотру, вопрос формулируется начиная примерно с 03:45. Я понял, что требуется, пользуясь аксиомами скалярного произведения, доказать, что ввести его в форме [math]\sqrt{f(x) \cdot g(x)}[/math] в [math]C[a,b][/math] нельзя. Как раз и смутил тот факт, что опираться-то не на что, если это произвольная функция, характеристики нет никакой...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать тождество (скалярное произведение)

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kiss_of_life

1

328

15 дек 2011, 14:34

Доказать, что скалярное произведение векторов равно 0

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Perfect_Anna

5

251

26 окт 2011, 19:36

Скалярное произведение(серия заданий) Векторное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

AnarchyCat

2

865

30 сен 2012, 22:32

Вычислить векторное произведение и скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

GRAND799

8

348

28 янв 2016, 14:46

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Happy_End

1

251

30 янв 2013, 07:55

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Finn_parnichka

1

65

30 сен 2018, 01:09

Скалярное произведение?

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

sema

5

867

20 дек 2011, 00:16

Скалярное произведение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

aleksskay

3

417

28 янв 2014, 14:35

Скалярное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

stesha11111

1

798

27 фев 2014, 19:48

Скалярное и векторное произведение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

simoaaa

6

402

30 окт 2013, 18:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved