Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 11:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 22:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, очень прошу помочь!
№1. Компактно ли множество [math]\boldsymbol{x} _{ \boldsymbol{n}} \left( \boldsymbol{t} \right) = \left( \boldsymbol{t} - \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{ \boldsymbol{n} }[/math] в пространстве [math]\boldsymbol{C} \left[ 0, 1 \right][/math], при [math]\boldsymbol{n} \in \mathbb{N}[/math]
№2. Найти норму функционала [math]\boldsymbol{F} =\int\limits_{-1}^{1} \boldsymbol{x} \left( \boldsymbol{t} \right) \boldsymbol{d}\boldsymbol{t} - \boldsymbol{x} \left( 0 \right)[/math] в пространстве [math]\boldsymbol{C} \left[ -1, 1 \right][/math]
Определила, что [math]\left\| F \right\|[/math] [math]\leq[/math] 3. Но можно ли это считать нормой? Как доказать, что это норма?
№3. Найти норму оператора [math]\boldsymbol{A} \,\colon \boldsymbol{C} _{ \boldsymbol{L} _{\left[ 0, 2 \right] } } \longrightarrow \boldsymbol{C} _{ \boldsymbol{L} _{\left[ 0, 1 \right] } }[/math], [math]\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \left( \boldsymbol{t} \right) = \boldsymbol{t} ^{3}\int\limits_{0}^{1} \boldsymbol{x} \left( \boldsymbol{\tau} \right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{\tau}[/math]. Достигается ли норма на единичном шаре?
Норма меньше или равна 0,25, но, опять же, как понять является ли это значение нормой?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 12:05 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
#1. Докажите, что [math]x(t)=0[/math] является предельной точкой множества.
#2. Найдите функцию, на которой этот максимум достигается, т.е. [math]\left | F(x) \right |=3\left\| x \right\|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 12:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4043
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
600 раз в 569 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3. Что за пространство [math]C_{L_{[0,2]}}[/math]? Какова там норма?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 12:27 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
3. Что за пространство [math]C_{L_{[0,2]}}[/math]? Какова там норма?

Начал было думать, что я один такой невежда :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 13:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 22:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\boldsymbol{C} _{ \boldsymbol{L} _{\left[ \boldsymbol{a} , \boldsymbol{b} \right] } }[/math] Это пространство непрерывных функций [math]\boldsymbol{x} \left( \boldsymbol{t} \right)[/math] на отрезке [math]\left[ \boldsymbol{a} , \boldsymbol{b} \right][/math] с метрикой [math]\boldsymbol{\rho} \left( \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} \right) = \left( \int\limits_{a}^{b} \left[ \boldsymbol{x} \left( \boldsymbol{t} \right) - \boldsymbol{y} \left( \boldsymbol{t} \right) \right]^{2} \boldsymbol{d} \boldsymbol{t} \right)^{\frac{ 1 }{ 2 } }[/math]

Те есть во втором номере мне нужно найти совершенно любую функцию, у которой максимум на отрезке [-1,1] равен 3? И как она поможет доказать, что 3 - это норма?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 15:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4043
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
600 раз в 569 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Polina1254 писал(а):
Те есть во втором номере мне нужно найти совершенно любую функцию, у которой максимум на отрезке [-1,1] равен 3?

Извините, что влезаю. Нет. Хотя ваш вопрос мне остался непонятен. Но я как-то вообще не уверен, что тут норма достигается на какой-то конкретной функции. Но последовательность функций, на которой норма достигается в пределе, тут легко строится. Но может я ошибаюсь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 15:21 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4043
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
600 раз в 569 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Polina1254 писал(а):
Те есть во втором номере мне нужно найти совершенно любую функцию, у которой максимум на отрезке [-1,1] равен 3?

Ничего не понял, но предлагалось
swan писал(а):
Найдите функцию, на которой этот максимум достигается, т.е. [math]\left | F(x) \right |=3\left\| x \right\|[/math]

Имелось в виду, достигается максимум нормы функционала, делённый на норму функции, а не максимум функции. Либо максимум нормы функционала на множестве функций с единичной нормой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 16:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 4043
Cпасибо сказано: 40
Спасибо получено:
600 раз в 569 сообщениях
Очков репутации: 134

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Polina1254 писал(а):
Норма меньше или равна 0,25,

Это по третьей задаче. А как вы это нашли? А то я нашёл функцию, на которой достигается норма [math]\sqrt{\frac{1}{7}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 16:13 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 4006
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
855 раз в 777 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Но я как-то вообще не уверен, что тут норма достигается на какой-то конкретной функции. Но последовательность функций, на которой норма достигается в пределе, тут легко строится. Но может я ошибаюсь.


Не ошибаетесь, совершенно правы. Я в начале тоже прописал про последовательность функций, а потом мне померещилось, что на [math]x(t)=-1[/math] достигается норма. Приношу извинения...

Последовательность функций строится из следующих соображений:
Нам нужно, чтобы
1. [math]x(0) =-1[/math]
2. [math]x(t)= 1[/math] на как можно большом интервале
3. [math]x(t)[/math] - непрерывна

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональный анализ
СообщениеДобавлено: 26 янв 2018, 16:58 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 ноя 2017, 22:16
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Это по третьей задаче. А как вы это нашли? А то я нашёл функцию, на которой достигается норма 17−−√
17
.

[math]\left\| Ax \right\| = \int\limits_{0}^{1} \left|t^3\int\limits_{0}^{1}x( \boldsymbol{\tau} )d \boldsymbol{\tau} \right|dt =\int\limits_{0}^{1}|t^3|\int\limits_{0}^{1} |x( \boldsymbol{\tau} )|d \boldsymbol{\tau} dt \leqslant\int\limits_{0}^{1} |t^3|\int\limits_{0}^{1}||x||d \boldsymbol{\tau} dt =\int\limits_{0}^{1}|t^3|||x||dt=||x|| \left| \frac{ t^4 }{ 4} \right| \left.{ }\right|_{ 0}^{ 1 }=\frac{ 1 }{ 4 }||x||[/math] делала по аналогии со 2-м номером.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alena2712

3

271

19 ноя 2015, 22:37

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

petrashenkosergey

2

178

13 июн 2016, 23:51

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ismail09

3

237

13 июн 2016, 15:20

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mdx Com

0

149

01 июн 2016, 19:39

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Nival

1

223

29 май 2015, 11:35

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Tanya2015

1

254

22 янв 2015, 15:52

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Tanya2015

1

268

07 янв 2015, 18:51

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Katrina7

0

89

30 окт 2017, 10:59

Функциональный анализ

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

lebron23

2

324

21 дек 2014, 14:21

Функциональный анализ

в форуме Объявления участников Форума

OnceYouGoRat

1

239

24 мар 2016, 22:39


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved