Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 07 окт 2017, 14:50 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 785
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
122 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго дня!
Дано
[math]a(-x,-t)=a(x,t)+f(t),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)[/math]
причем [math]f(t)[/math] не известно.

Требуется найти общий вид [math]a(x,t)=F(\phi(x,t))[/math], где [math]\phi(x,t)[/math] произвольная "хорошая" функция. Т.е. надо найти закономерность [math]F[/math], чтобы [math]a(x,t)[/math] удовлетворяла условию [math](1)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 07 окт 2017, 16:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3984
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1768 раз в 1473 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Student Studentovich писал(а):
где [math]\phi(x,t)[/math] произвольная "хорошая" функция.

Это следует уточнить, иначе Ваша задача неразрешима. Если под этим понимать, например, произвольную гладкую функцию, то требуемой функции [math]F[/math] не существует.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 07 окт 2017, 16:25 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 785
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
122 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Да имелось ввиду произвольная, гладкая. А почему не существует? :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 07 окт 2017, 17:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3984
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1768 раз в 1473 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно найти такую функцию [math]F[/math], что равенство

[math]F(\varphi(-x,-t))=F(\varphi(x,t))+f(t)[/math]

выполняется для всех функций [math]\varphi(x,t)[/math] из некоторого класса. Если предположить, что в этот класс входят функции вида [math]\varphi(x,t)=x+c[/math] ([math]c[/math] - произвольная константа), то, подставляя их в равенство, получаем:

[math]F(-x+c)=F(x+c)+f(t)[/math]

Подставляя теперь [math]x=c,\ t=0[/math], получаем

[math]F(2c)=F(0)-f(0)[/math]

а поскольку [math]c[/math] произвольно, то значит [math]F[/math] есть тождественная константа, чего, очевидно, не может быть.

Вообще, решение на полуплоскости [math]t>0[/math] (или [math]x>0[/math]) можно задавать абсолютно произвольно, а на другую полуплоскость оно однозначно продолжается с помощью данного уравнения. Так что не совсем понятно, зачем здесь вообще так мудрить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Student Studentovich
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 окт 2017, 11:10 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 785
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
122 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На самом деле, все это я делалалось, чтобы получить уравнение в ч.п. для [math]\phi(x,t)[/math].
Поясню в случае когда всё просто.

Имеются уравнения
[math]F_1(a_x,a,b,q)=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i)[/math]
[math]F_2(b_x,a,b,q)=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(ii)[/math]
[math]F_3(q_t,a,b)=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(iii)[/math]
Для первых двух существует интеграл движения
[math]a^2(x,t)+b^2(x,t)=\text{const}[/math]

Откуда сразу можно понять каким образом выбрать [math]a,\,b[/math]
[math]a=\cos \phi(x,t),\,b=\sin \phi(x,t)[/math]
Используя [math](i),\,(ii)[/math] можно понять как связаны [math]q[/math] с [math]\phi[/math], а из [math](iii)[/math], получить уравнение для [math]\phi[/math]. Хоть я все не расписал, это уравнение sin-Gordona [math]\phi_{x,t}=\sin \phi.[/math]

В моём же случае снова имеются уравнения уже для [math]a(x,t),b(x,t),a(-x,-t),b(-x,-t),q(x,t)[/math]
Уравнения для [math]b(x,t)[/math] и [math]b(-x,-t)[/math] полностью согласованы, а для [math]a(x,t)[/math] и [math]a(-x,-t)[/math] приводят к первому сообщению.
Плюс имеется интеграл движения вытекающий
[math]a(x,t)a(-x,-t)+b(x,t)b(-x,-t)=\text{const}[/math].

Теперь спрашивается в каком виде выбрать [math]a[/math] и [math]b[/math]?
Я только нашел вида типа [math]a=\cos (\phi(x,t)+\phi(-x,-t))\,b=\sin (\phi(x,t)+\phi(-x,-t))[/math],
но это приводит к уравнению [math]G\left[ \phi_{xt}(x,t),\phi_{xt}(-x,-t),\phi(x,t),\phi(-x,-t) \right] =0[/math], а хотелось бы
[math]G(\phi_{x,t}(x,t),\phi(x,t),\phi(-x,-t))=0[/math]. Для этого надо выбрать [math]a=a(\phi(x,t)),\,b=b(\phi(x,t))[/math], а не
[math]a=a(\phi(x,t),\phi(-x,-t)),\,b=b(\phi(x,t),\phi(-x,-t))[/math].

Благодарю заранее!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 окт 2017, 16:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3984
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1768 раз в 1473 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я, конечно, не в курсе, какую конкретно задачу Вы решаете, но возможно, что причина Ваших неудач в следующем. Как я уже упомянул выше, если не рассматривать пока никаких уравнений, то функции [math]a(-x,-t)[/math] и [math]a(x,t)[/math] ([math]b(-x,-t)[/math] и [math]b(x,t)[/math]) в полуплоскости [math]t>0[/math] никак между собой не связаны. Другими словами, на них надо смотреть, как на две абсолютно независимые функции. То есть, в полуплоскости [math]t>0[/math] у Вас система не от двух функций, а от четырех. При этом при замене знаков у [math]t,x[/math] из исходной системы можно получить дополнительные условия на неизвестные функции, так что система будет хорошо определена.

Пусть например у Вас есть уравнение вида

[math]F(a_x(x,t),\ a(x,t),\ a(-x,-t),\ b(x,t),\ b(-x,-t))=0[/math]

Сделаем замену [math]c(x,t)=a(-x,-t),\ d(x,t)=b(-x,-t)[/math]. Тогда исходное уравнение можно записать как

[math]F(a_x(x,t),\ a(x,t),\ c(x,t),\ b(x,t),\ d(x,t))=0[/math]

Но здесь пока не учитываются связи [math]c(x,t)=a(-x,-t),\ d(x,t)=b(-x,-t)[/math]. Чтобы их учесть, рассмотрим исходное уравнение при [math]t>0[/math] и при [math]t<0[/math] и в последнем случае поменяем знаки аргументов на противоположные. Получим

[math]F(a_x(x,t),\ a(x,t),\ a(-x,-t),\ b(x,t),\ b(-x,-t))=0\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\left\{\!\begin{aligned}& F(a_x(x,t),\ a(x,t),\ a(-x,-t),\ b(x,t),\ b(-x,-t))=0,\ t>0 \\& F(-a_x(-x,-t),\ a(-x,-t),\ a(x,t),\ b(-x,-t),\ b(x,t))=0,\ t>0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\left\{\!\begin{aligned}& F(a_x(x,t),\ a(x,t),\ c(x,t),\ b(x,t),\ d(x,t)),\ t>0 \\& F(-c_x(x,t),\ c(x,t),\ a(x,t),\ d(x,t),\ b(x,t))=0,\ t>0\end{aligned}\right.[/math]

А дальше можно забыть, что какие-то связи существовали, решить полученную систему, и вспомнить про них, когда надо будет продолжать полученное решение на другую полуплоскость: [math]a(x,t)=c(-x,-t),\ b(x,t)=d(-x,-t),\ t<0[/math].

▼ Простой пример, где этот прием может применяться
Допустим нужно решить уравнение

[math]a'(x)+a(-x)=0[/math]

Заменяя [math]b(x)=a(-x)[/math] и выполняя приведенные выше преобразования, приходим к системе

[math]\left\{\!\begin{aligned}& a'(x)+b(x)=0,\ x>0 \\& -b'(x)+a(x)=0,\ x>0\end{aligned}\right.[/math]

Можно выписать первый интеграл системы: [math]a^2+b^2=const[/math], откуда

[math]a(x)=C_1\cos(\varphi(x)),\ b(x)=C_1\sin(\varphi(x))[/math]

Подставляя в первое уравнение, получаем: [math]\varphi'(x)=1[/math], откуда [math]\varphi(x)=x+C_2[/math], так что

[math]a(x)=C_1\cos(x+C_2),\ b(x)=C_1\sin(x+C_2),\ x>0[/math]

Тогда при отрицательных [math]x[/math]: [math]a(x)=b(-x)=C_1\sin(-x+C_2)[/math]

Если мы ищем гладкое решение, то [math]a(0+)=a(0-)\Rightarrow C_1\cos C_2=C_1\sin C_2[/math], то есть [math]C_2=\frac{\pi}4[/math]. Окончательно

[math]a(x)=C\cos\left(x+\frac{\pi}4\right)=\bar C(\cos x-\sin x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Student Studentovich
 Заголовок сообщения: Re: Функциональное уравнение
СообщениеДобавлено: 08 окт 2017, 17:22 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 785
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
122 раз в 116 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, что расписали. Я уже так делал. И предложенное простенькое уравнение тоже(но честно сказать без использования интеграла).

У меня в системе получаться по 4-ре диффура и 4-ре неизвестных [math]a(x,t),\, a(-x,-t),\,b(-x,-t),\,b(-x,-t),[/math] которые я не смог решить. Хотелось использовать интеграл движения [math]a(x,t)a(-x,-t)+b(x,t)b(-x,-t)[/math] для их упрощения.
Стоит ли мне их сюда выписать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функциональное уравнение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Integrator

0

214

08 июн 2015, 09:14

Функциональное уравнение xf(x) = 2f(1-x)

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Naa

0

153

12 окт 2013, 23:08

Функциональное уравнение

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

7

467

24 апр 2012, 21:57

Функциональное уравнение для непрерывной функции

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Human

0

226

16 мар 2013, 17:29

Функциональное уравнение на множестве целых чисел

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

nicat

1

293

26 авг 2015, 23:21

Как решить уравнение данное уравнение методом Рунге-Кутта

в форуме Численные методы

Silas

2

530

06 дек 2012, 01:16

уравнение плоскости,уравнение прямой,расстояние от точки до

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

psevdofizik

0

631

19 дек 2011, 21:35

Найти интеграл(делить уравнение на уравнение)

в форуме Интегральное исчисление

Forge0100

6

609

01 дек 2013, 00:35

Написать уравнение прямой, уравнение плоскости

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

andreyosnovin

1

509

18 ноя 2013, 16:08

уравнение плоскости,каноническое уравнение

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

katya

2

322

29 ноя 2011, 00:36


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved