Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверить стремление интеграла к нулю
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=55706
Страница 1 из 1

Автор:  Rules [ 17 сен 2017, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Проверить стремление интеграла к нулю

Предисловие:
По функциональному анализу задание: Проверить сходится ли последовательность [math]\big\{x_{n}\big\}[/math] элементов пространства [math]C[a, b][/math] относительно каждой из метрик: [math]\rho(x,y)=max|x(t)-y(t)|[/math], [math]\rho_{1}(x,y)= \int_a^b |x(t)-y(t)|dt[/math]
В моем варианте [math]C[1, 10][/math], [math]x_{n}(t)= \frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}[/math]
Сначала я нашел [math]x_{0}=\lim_{n \rightarrow \infty} \big\{x_{n}\big\}[/math] чтобы проверить поточечную сходимость [math]x_{0} =\begin{cases}1|2 & t=1\\t & |t|>1\end{cases}[/math] Разрыв - значит по (равномерной метрике) [math]\rho[/math] не сходится. Рассмотрим по [math]\rho_{1}[/math] (интегральной метрике). Доопределим до непрерывности [math]x_{0}[/math] для этого положим [math]x_{0}(1)=1[/math] Тоесть будет [math]x_{0}(t)=t[/math] на всем отрезке [math][1, 10][/math]. Теперь надо доказать что [math]\rho_{1}(x_{0},x_{n})\rightarrow0[/math] при [math]n\rightarrow\infty[/math] тоесть что [math]\int_1^{10} t-\frac{t^{n+2}}{1+t^{n+1}}dt\rightarrow0[/math] при [math]n\rightarrow\infty[/math]. Есть (нас так учили по крайней мере) два варианта сделать это:
Помогите любое из этого желательно второй вариант:
1)Тупо вычислить интеграл получить некое выражение зависящее только от [math]n[/math] и найти его предел при [math]n\rightarrow\infty[/math].. Но учитель сказал что это слишком сложно поэтому надо 2й вариант
2)Как-то аналитически доказать что интеграл стремится к 0. В классе нам показывали с помощью графика (позже сюда добавлю) но я не силен в матане и не понял и к тому же как так в моем случае сделать - не знаю. В общем показали что площадь заштрихованной области [math]<2\varepsilon[/math] И следовательно интеграл стремится к 0.

Автор:  Rules [ 17 сен 2017, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверить стремление интеграла к нулю

Вопрос решен. Но я не знаю как его отсюда удалить/закрыть..

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/