Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать утверждение,связанное с равномерной сходимостью
СообщениеДобавлено: 04 май 2011, 20:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 мар 2011, 01:51
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть такое утверждение:

Пусть функция [math]f(x)[/math] определена на интервале [math](a,b)[/math]. Докажите,что [math]f[/math]принадлежит [math]C^{1}((a,b))[/math] тогда и только тогда, когда отношение [math]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/math] стремиться при [math]h\to0[/math] к конечномерному пределу равномерно на каждом промежутке [math][\alpha,\beta][/math] из [math](a,b)[/math].

Наведите хотя бы на мысль....:(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать утверждение,связанное с равномерной сходимостью
СообщениеДобавлено: 05 май 2011, 09:36 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из условия сразу следует дифференцируемость функции [math]f(x)[/math]. Осталось доказать непрерывность производной, т.е.
[math]\mathop {\lim }\limits_{y \to x} f'\left( y \right) = f'\left( x \right)[/math]
при [math]x,y \in \left( {a,b} \right)[/math]
Фиксируем промежуток [math]\left( {\alpha ,\beta } \right)\ni x[/math] и произвольное [math]\varepsilon > 0[/math]. Найдём [math]h_0 >0[/math] такое, что при [math]0<h<h_0[/math] выполнены неравенства
[math]\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - \frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \frac{\varepsilon }{3}[/math]
[math]\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - f'\left( x \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}[/math]
[math]\left| {\frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( y \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}[/math]
Поэтому
[math]\left| {f'\left( x \right) - f'\left( y \right)} \right| < \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - f'\left( x \right)} \right| + \left| {\frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( y \right)} \right| + \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - \frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \varepsilon[/math]
Более того, получилась равномерная непрерывность производной на любом промежутке
[math]\left[ {\alpha ,\beta } \right] \subset \left( {a,b} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
_Vesna_, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Доказать утверждение,связанное с равномерной сходимостью
СообщениеДобавлено: 06 май 2011, 16:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 мар 2011, 01:51
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Более того, получилась равномерная непрерывность производной на любом промежутке
[math]\left[ {\alpha ,\beta } \right] \subset \left( {a,b} \right)[/math]

а можете объяснить откуда это вытекает? из выбора [math]h_{0}[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать утверждение,связанное с равномерной сходимостью
СообщениеДобавлено: 06 май 2011, 21:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Извините, но я слишком лихо написал решение. :( Вы правы, так не доказать равномерную непрерывность производной. Так можно доказать непрерывность производной. Тогда равномерная непрерывность следует, как обычно из теоремы Кантора-Гейне.
Давайте по порядку. Из условия сразу следует непрерывность и дифференцируемость функции [math]f[/math]. Далее, фиксируем окрестность [math]U \subset \overline U \subset \left( {a,b} \right)[/math] точки [math]x[/math]. В силу равномерной сходимости, для любого [math]\varepsilon > 0[/math] найдётся значение [math]h_0 > 0[/math] такое, что
[math]\left| {\frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( y \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{4}[/math]
для всех [math]h<h_0[/math]. Теперь, фиксируем [math]h[/math] и воспользуемся непрерывностью функции [math]f[/math] в точках [math]x[/math] и [math]x+h[/math], т.е. выберем окрестность [math]V[/math] точки [math]x[/math] такую, что
[math]\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {y + h} \right)}}{h}} \right| < \frac{\varepsilon }{4}[/math]
[math]\left| {\frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \frac{\varepsilon }{4}[/math]
для всех [math]y \in U\bigcap V[/math]. Окрестность[math]V[/math], естественно, зависит от [math]h[/math].
Таким образом, при фиксированном значении [math]x[/math] для любого [math]\varepsilon > 0[/math] существует окрестность [math]U\bigcap V[/math] точки [math]x[/math] такая, что
[math]\left| {f'\left( y \right) - f'\left( x \right)} \right| \leqslant \left| {f'\left( y \right) - \frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| + \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( x \right)} \right| + \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {y + h} \right)}}{h}} \right| + \left|{\frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \varepsilon[/math]
Следовательно, производная непрерывна в точке [math]x[/math].
Доказательство в обратную сторону проще. Можно воспользоваться Теоремой Лагранжа и равномерной непрерывностью производной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать что в этом пространстве есть связанное всюду плотно

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Atlantis

3

421

07 апр 2015, 17:06

Доказать утверждение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

indiana_johns

5

261

11 окт 2021, 04:24

Доказать утверждение о делимости

в форуме Алгебра

Fireman

5

239

16 апр 2019, 11:15

Доказать следующее утверждение

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

stEgor

40

426

05 ноя 2020, 19:35

Доказать или опровергнуть утверждение

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

0

134

03 дек 2019, 17:18

Доказать или опровергнуть утверждение (множества)

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Reintag

5

686

26 май 2016, 20:27

Доказать равенство множеств и утверждение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Yulia_0707

8

650

14 май 2016, 18:42

Доказать утверждение для тригонометрических функций

в форуме Тригонометрия

afraumar

3

424

26 авг 2014, 12:16

Координатная прямая, доказать утверждение

в форуме Алгебра

powsem

4

286

16 июл 2019, 09:09

Доказать утверждение о композиции функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Digenets

3

151

24 дек 2020, 12:31


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved