Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
_Vesna_ |
|
||
Пусть функция [math]f(x)[/math] определена на интервале [math](a,b)[/math]. Докажите,что [math]f[/math]принадлежит [math]C^{1}((a,b))[/math] тогда и только тогда, когда отношение [math]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/math] стремиться при [math]h\to0[/math] к конечномерному пределу равномерно на каждом промежутке [math][\alpha,\beta][/math] из [math](a,b)[/math]. Наведите хотя бы на мысль.... |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Из условия сразу следует дифференцируемость функции [math]f(x)[/math]. Осталось доказать непрерывность производной, т.е.
[math]\mathop {\lim }\limits_{y \to x} f'\left( y \right) = f'\left( x \right)[/math] при [math]x,y \in \left( {a,b} \right)[/math] Фиксируем промежуток [math]\left( {\alpha ,\beta } \right)\ni x[/math] и произвольное [math]\varepsilon > 0[/math]. Найдём [math]h_0 >0[/math] такое, что при [math]0<h<h_0[/math] выполнены неравенства [math]\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - \frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \frac{\varepsilon }{3}[/math] [math]\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - f'\left( x \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}[/math] [math]\left| {\frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( y \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}[/math] Поэтому [math]\left| {f'\left( x \right) - f'\left( y \right)} \right| < \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - f'\left( x \right)} \right| + \left| {\frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( y \right)} \right| + \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - \frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \varepsilon[/math] Более того, получилась равномерная непрерывность производной на любом промежутке [math]\left[ {\alpha ,\beta } \right] \subset \left( {a,b} \right)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: _Vesna_, mad_math |
|||
_Vesna_ |
|
|
Prokop писал(а): Более того, получилась равномерная непрерывность производной на любом промежутке [math]\left[ {\alpha ,\beta } \right] \subset \left( {a,b} \right)[/math] а можете объяснить откуда это вытекает? из выбора [math]h_{0}[/math] ? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
Извините, но я слишком лихо написал решение. Вы правы, так не доказать равномерную непрерывность производной. Так можно доказать непрерывность производной. Тогда равномерная непрерывность следует, как обычно из теоремы Кантора-Гейне.
Давайте по порядку. Из условия сразу следует непрерывность и дифференцируемость функции [math]f[/math]. Далее, фиксируем окрестность [math]U \subset \overline U \subset \left( {a,b} \right)[/math] точки [math]x[/math]. В силу равномерной сходимости, для любого [math]\varepsilon > 0[/math] найдётся значение [math]h_0 > 0[/math] такое, что [math]\left| {\frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( y \right)} \right| < \frac{\varepsilon }{4}[/math] для всех [math]h<h_0[/math]. Теперь, фиксируем [math]h[/math] и воспользуемся непрерывностью функции [math]f[/math] в точках [math]x[/math] и [math]x+h[/math], т.е. выберем окрестность [math]V[/math] точки [math]x[/math] такую, что [math]\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {y + h} \right)}}{h}} \right| < \frac{\varepsilon }{4}[/math] [math]\left| {\frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \frac{\varepsilon }{4}[/math] для всех [math]y \in U\bigcap V[/math]. Окрестность[math]V[/math], естественно, зависит от [math]h[/math]. Таким образом, при фиксированном значении [math]x[/math] для любого [math]\varepsilon > 0[/math] существует окрестность [math]U\bigcap V[/math] точки [math]x[/math] такая, что [math]\left| {f'\left( y \right) - f'\left( x \right)} \right| \leqslant \left| {f'\left( y \right) - \frac{{f\left( {y + h} \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| + \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( y \right)}}{h} - f'\left( x \right)} \right| + \left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {y + h} \right)}}{h}} \right| + \left|{\frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{h}} \right| < \varepsilon[/math] Следовательно, производная непрерывна в точке [math]x[/math]. Доказательство в обратную сторону проще. Можно воспользоваться Теоремой Лагранжа и равномерной непрерывностью производной. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mad_math |
|||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |