Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Связность линейная и не только
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=55616
Страница 1 из 1

Автор:  Space [ 09 сен 2017, 12:21 ]
Заголовок сообщения:  Связность линейная и не только

У меня возник вопрос по поводу понятия связности. Он появился в связи с разногласиями авторов в определении области в пространстве [math]\mathbb{R} ^n[/math] (к сожалению, топологию мы в институте не проходим и работаем только в этом пространстве, так что основные понятия топологии определяются только для него).

Область — открытое связное множество в [math]\mathbb{R} ^n[/math]. Один мой лектор вместо связности требовал от множества линейной связности. Линейная связность вопросов не вызывает. Смотрю на Википедии определение связности.

Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.

Пусть [math]X \subset \mathbb{R} ^n[/math]. Правильно ли я понимаю, что эти "два непустых непересекающихся замкнутых подмножества" [math]X[/math] должны быть замкнуты не относительно топологии пространства [math]\mathbb{R} ^n[/math], а относительно индуцированной топологии на [math]X[/math]? Иначе любое открытое множество будет связным, ведь его нельзя представить объединением замкнутых множеств.

Например, [math]X = (0,1) \cup (2,3)[/math]. В пространстве [math]X[/math] подмножества [math](0,1)[/math] и [math](2,3)[/math] будут замкнутыми, в то время как в [math]\mathbb{R} ^n[/math] — открытыми?

Последний вопрос. Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

Автор:  Human [ 11 сен 2017, 11:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Связность линейная и не только

Space писал(а):
Правильно ли я понимаю, что эти "два непустых непересекающихся замкнутых подмножества" [math]X[/math] должны быть замкнуты не относительно топологии пространства [math]\mathbb{R} ^n[/math], а относительно индуцированной топологии на [math]X[/math]?

Конечно. Заметьте, что определение в википедии касается связного пространства, а не подмножества пространства. А дальше написано:

Подмножество топологического пространства называется связным, если оно вместе со своей индуцированной топологией образует связное пространство.


Space писал(а):
Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример. В общем случае можно утверждать лишь, что из связности следует линейная связность, но не наоборот.

Вообще, забавно, что функции вида [math]x^{\alpha}\sin\frac1{x^{\beta}}[/math] и их аналоги часто возникают в элементарном анализе как контрпримеры к разным "интуитивным" утверждениям.

Автор:  Space [ 11 сен 2017, 16:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Связность линейная и не только

Спасибо за ответ!

Human писал(а):
В общем случае можно утверждать лишь, что из связности следует линейная связность, но не наоборот.

Скорее как раз наоборот.

Автор:  Space [ 12 сен 2017, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Связность линейная и не только

Human писал(а):
Space писал(а):
Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример.

Возможно, хотя бы для открытых подмножеств [math]\mathbb{R} ^n[/math] они эквивалентны?

Автор:  Human [ 14 сен 2017, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Связность линейная и не только

Space писал(а):
Human писал(а):
Space писал(а):
Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример.

Возможно, хотя бы для открытых подмножеств [math]\mathbb{R} ^n[/math] они эквивалентны?

Да. Если множество связно и локально линейно связно, то оно линейно связно, а шары в [math]\mathbb{R}^n[/math], очевидно, линейно связны. Так что в определении области в [math]\mathbb{R}^n[/math] можно требовать как связность, так и линейную связность.

Автор:  Space [ 14 сен 2017, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Связность линейная и не только

Human писал(а):
Если множество связно и локально линейно связно, то оно линейно связно, а шары в [math]\mathbb{R}^n[/math], очевидно, линейно связны. Так что в определении области в [math]\mathbb{R}^n[/math] можно требовать как связность, так и линейную связность.

Теперь я полностью удовлетворен!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/