Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Связность линейная и не только http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=55616 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Space [ 09 сен 2017, 12:21 ] |
Заголовок сообщения: | Связность линейная и не только |
У меня возник вопрос по поводу понятия связности. Он появился в связи с разногласиями авторов в определении области в пространстве [math]\mathbb{R} ^n[/math] (к сожалению, топологию мы в институте не проходим и работаем только в этом пространстве, так что основные понятия топологии определяются только для него). Область — открытое связное множество в [math]\mathbb{R} ^n[/math]. Один мой лектор вместо связности требовал от множества линейной связности. Линейная связность вопросов не вызывает. Смотрю на Википедии определение связности. Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества. Пусть [math]X \subset \mathbb{R} ^n[/math]. Правильно ли я понимаю, что эти "два непустых непересекающихся замкнутых подмножества" [math]X[/math] должны быть замкнуты не относительно топологии пространства [math]\mathbb{R} ^n[/math], а относительно индуцированной топологии на [math]X[/math]? Иначе любое открытое множество будет связным, ведь его нельзя представить объединением замкнутых множеств. Например, [math]X = (0,1) \cup (2,3)[/math]. В пространстве [math]X[/math] подмножества [math](0,1)[/math] и [math](2,3)[/math] будут замкнутыми, в то время как в [math]\mathbb{R} ^n[/math] — открытыми? Последний вопрос. Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]? |
Автор: | Human [ 11 сен 2017, 11:08 ] | |
Заголовок сообщения: | Re: Связность линейная и не только | |
Space писал(а): Правильно ли я понимаю, что эти "два непустых непересекающихся замкнутых подмножества" [math]X[/math] должны быть замкнуты не относительно топологии пространства [math]\mathbb{R} ^n[/math], а относительно индуцированной топологии на [math]X[/math]? Конечно. Заметьте, что определение в википедии касается связного пространства, а не подмножества пространства. А дальше написано:
Space писал(а): Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]? В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример. В общем случае можно утверждать лишь, что из связности следует линейная связность, но не наоборот. |
Автор: | Space [ 11 сен 2017, 16:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Связность линейная и не только |
Спасибо за ответ! Human писал(а): В общем случае можно утверждать лишь, что из связности следует линейная связность, но не наоборот. Скорее как раз наоборот. |
Автор: | Space [ 12 сен 2017, 16:58 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Связность линейная и не только |
Human писал(а): Space писал(а): Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]? В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример. Возможно, хотя бы для открытых подмножеств [math]\mathbb{R} ^n[/math] они эквивалентны? |
Автор: | Human [ 14 сен 2017, 18:35 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Связность линейная и не только |
Space писал(а): Human писал(а): Space писал(а): Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]? В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример. Возможно, хотя бы для открытых подмножеств [math]\mathbb{R} ^n[/math] они эквивалентны? Да. Если множество связно и локально линейно связно, то оно линейно связно, а шары в [math]\mathbb{R}^n[/math], очевидно, линейно связны. Так что в определении области в [math]\mathbb{R}^n[/math] можно требовать как связность, так и линейную связность. |
Автор: | Space [ 14 сен 2017, 19:41 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Связность линейная и не только |
Human писал(а): Если множество связно и локально линейно связно, то оно линейно связно, а шары в [math]\mathbb{R}^n[/math], очевидно, линейно связны. Так что в определении области в [math]\mathbb{R}^n[/math] можно требовать как связность, так и линейную связность. Теперь я полностью удовлетворен! |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |