Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Связность линейная и не только
СообщениеДобавлено: 09 сен 2017, 13:21 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 264
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня возник вопрос по поводу понятия связности. Он появился в связи с разногласиями авторов в определении области в пространстве [math]\mathbb{R} ^n[/math] (к сожалению, топологию мы в институте не проходим и работаем только в этом пространстве, так что основные понятия топологии определяются только для него).

Область — открытое связное множество в [math]\mathbb{R} ^n[/math]. Один мой лектор вместо связности требовал от множества линейной связности. Линейная связность вопросов не вызывает. Смотрю на Википедии определение связности.

Связное пространство — непустое топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.

Пусть [math]X \subset \mathbb{R} ^n[/math]. Правильно ли я понимаю, что эти "два непустых непересекающихся замкнутых подмножества" [math]X[/math] должны быть замкнуты не относительно топологии пространства [math]\mathbb{R} ^n[/math], а относительно индуцированной топологии на [math]X[/math]? Иначе любое открытое множество будет связным, ведь его нельзя представить объединением замкнутых множеств.

Например, [math]X = (0,1) \cup (2,3)[/math]. В пространстве [math]X[/math] подмножества [math](0,1)[/math] и [math](2,3)[/math] будут замкнутыми, в то время как в [math]\mathbb{R} ^n[/math] — открытыми?

Последний вопрос. Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связность линейная и не только
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 12:08 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Правильно ли я понимаю, что эти "два непустых непересекающихся замкнутых подмножества" [math]X[/math] должны быть замкнуты не относительно топологии пространства [math]\mathbb{R} ^n[/math], а относительно индуцированной топологии на [math]X[/math]?

Конечно. Заметьте, что определение в википедии касается связного пространства, а не подмножества пространства. А дальше написано:

Подмножество топологического пространства называется связным, если оно вместе со своей индуцированной топологией образует связное пространство.


Space писал(а):
Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример. В общем случае можно утверждать лишь, что из связности следует линейная связность, но не наоборот.

Вообще, забавно, что функции вида [math]x^{\alpha}\sin\frac1{x^{\beta}}[/math] и их аналоги часто возникают в элементарном анализе как контрпримеры к разным "интуитивным" утверждениям.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Связность линейная и не только
СообщениеДобавлено: 11 сен 2017, 17:51 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 264
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за ответ!

Human писал(а):
В общем случае можно утверждать лишь, что из связности следует линейная связность, но не наоборот.

Скорее как раз наоборот.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связность линейная и не только
СообщениеДобавлено: 12 сен 2017, 17:58 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 264
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Space писал(а):
Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример.

Возможно, хотя бы для открытых подмножеств [math]\mathbb{R} ^n[/math] они эквивалентны?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Связность линейная и не только
СообщениеДобавлено: 14 сен 2017, 19:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
Human писал(а):
Space писал(а):
Эквивалентны ли связность и линейная связность подмножества [math]\mathbb{R} ^n[/math]?

В [math]\mathbb{R}[/math] да, но уже на плоскости они отличаются: хрестоматийный пример.

Возможно, хотя бы для открытых подмножеств [math]\mathbb{R} ^n[/math] они эквивалентны?

Да. Если множество связно и локально линейно связно, то оно линейно связно, а шары в [math]\mathbb{R}^n[/math], очевидно, линейно связны. Так что в определении области в [math]\mathbb{R}^n[/math] можно требовать как связность, так и линейную связность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Связность линейная и не только
СообщениеДобавлено: 14 сен 2017, 20:41 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 264
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Если множество связно и локально линейно связно, то оно линейно связно, а шары в [math]\mathbb{R}^n[/math], очевидно, линейно связны. Так что в определении области в [math]\mathbb{R}^n[/math] можно требовать как связность, так и линейную связность.

Теперь я полностью удовлетворен!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Лин. связность {a,b,c,d}

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

lampard

17

534

14 янв 2013, 21:00

Как доказать связность множества

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

karpanin

9

153

22 мар 2017, 14:04

Найти инвариантную связность для двуполостного гиперболоида

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

oksana_ya

0

196

12 май 2013, 20:16

Это только у меня ?

в форуме Предложения, Замечания, Обратная связь

oksanakurb

1

375

13 фев 2012, 21:46

Только не бейте

в форуме Размышления по поводу и без

Dgir

1

271

21 авг 2014, 15:51

Смех да и только

в форуме Палата №6

Korvet

11

370

17 май 2016, 12:29

Только за Лопиталем

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ryslannn

11

536

23 мар 2013, 08:49

Не только любопытно

в форуме Теория чисел

Ferma

10

557

05 янв 2014, 15:17

Пределы (с факториалами и не только)

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Harbinger

1

3970

05 ноя 2013, 20:13

Бред (околонаучный) и не только

в форуме Палата №6

andrei

1507

35440

13 фев 2014, 11:42


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved