Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задает ли формула линейный ограниченный функционал
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 14:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 июл 2017, 13:35
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу помочь с решением следующего задания:

Выяснить, задает ли следующая формула линейный ограниченный функционал.
При положительном ответе вычислить норму [math]f[/math] для [math]x(t)\in L_{p}[a,b][/math]

1. [math]f(x) = \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 2 } } t^{\frac{ 2 }{ 3 }} x(t^{2}) dt[/math], [math]x(t)\in L_{1}[0,1][/math]
2. [math]f(x) = \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 2 } } x(t^{2}) dt[/math], [math]x(t)\in L_{\frac{5}{4}}[-1,1][/math]

Возьмем формулу 1.

1) Линейность определяется легко, это я сделал.
2) Далее, насколько я понял, необходимо показать, что [math]\exists c > 0 \,\colon \left| f(x) \right| \leqslant c\left\| x \right\|[/math], где [math]\left\| x \right\| = (\int\limits_{0}^{1} (\left| x(t) \right|)^{p} dt)^{\frac{ 1 }{ p } } = \int\limits_{0}^{1} \left| x(t) \right| dt[/math]
[math]\left| f(x) \right| = \left| \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 2 } } t^{\frac{ 2 }{ 3 }} x(t^{2}) dt \right| = \left[ t^{2}=s, dt=\frac{ 1 }{ 2 } s^{-\frac{ 1 }{ 2 } } ds \right] = \left| \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 4 } } s^{\frac{ 1 }{ 3 } } x(s) \frac{ 1 }{ 2 } s^{-\frac{ 1 }{ 2 } } ds \right| = \frac{ 1 }{ 2 } \left| \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 4 } } s^{-\frac{ 1 }{ 6 } } x(s) ds \right| = ...[/math]
и как это привести к [math]\leqslant c\left\| x \right\|[/math], не могу придумать.

3) Далее, если правильно понял, нужно найти последовательность [math]x_{n}(t) \in L_{1}[0,1][/math] такую, что [math]\lim_{n \to \infty } \left| f(x_{n}) \right| = c[/math], тогда и [math]\left\| f \right\| = c[/math]
Просмотрел много примеров решения, откуда там берут такую последовательность, не понял. Есть какой-то алгоритм или просто в силу опыта сразу ответ должен приходить в голову?

С формулой 2 проблемы те же (собственно, решение для формулы 2 не должно сильно отличаться от решения для 1).

P.S. Если возможно, прошу объяснить поподробнее, т.к. с функциональным анализом только недавно начал разбираться, и в силу обстоятельств времени комплексно разобраться в нем нет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задает ли формула линейный ограниченный функционал
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 16:20 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ну правильно , возьмите теперь [math]x(t)=t^{-5|6}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задает ли формула линейный ограниченный функционал
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 18:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 июл 2017, 13:35
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
ну правильно , возьмите теперь x(t)=t−5|6

Тогда
[math]\left| f(x) \right| = \frac{ 1 }{ 2 } \left| \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 4 } } s^{-\frac{ 1 }{ 6 } } s^{-\frac{ 5 }{ 6 } } ds \right| = \frac{ 1 }{ 2 } \left| \int\limits_{0}^{\frac{ 1 }{ 4 } } s^{-1} ds \right|[/math]

Т.е., интеграл не сходится, значит, функционал не является ограниченным, верно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задает ли формула линейный ограниченный функционал
СообщениеДобавлено: 31 июл 2017, 18:52 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 14:47
Сообщений: 298
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
28 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 6

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это означает, что ваш функцонал просто не определен на [math]L_1(0,1)[/math]. Что бы построить неограниченный функционал на банаховом пространстве нужна лемма Цорна

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задает ли формула линейный ограниченный функционал
СообщениеДобавлено: 02 авг 2017, 12:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 июл 2017, 13:35
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel писал(а):
Это означает, что ваш функцонал просто не определен на L1(0,1). Что бы построить неограниченный функционал на банаховом пространстве нужна лемма Цорна

Все еще не понял, что делать, только больше запутался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать, что функционал F линейный и непрерывный

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

POPPIE

4

486

11 июн 2014, 20:58

Линейный функционал в линейном нормированном пространстве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

winmord

2

226

26 янв 2016, 18:28

Линейный функционал. Найти значение в точке

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

baller8

2

449

31 мар 2013, 13:05

Задает ли формула оператор?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ConorM

1

165

30 ноя 2015, 19:12

Задаёт ли формула оператор

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

equinox6451

3

201

29 окт 2015, 16:14

Задает ли указанное правило функцию

в форуме Тригонометрия

Ann_666

5

2155

18 дек 2011, 13:53

Задает ли указанное правило функцию

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Tieria

2

1046

27 сен 2012, 11:01

Убедиться, что уравнение неявно задаёт функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

md_25

1

158

06 ноя 2014, 02:49

Функционал

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

ZLeysanochka

2

172

02 апр 2016, 21:38

Объем ограниченный плоскостями

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

44DA1330D83

3

202

14 сен 2013, 23:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved