Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
K_A |
|
|
Пусть дано множество А, и В есть совокупность всех подмножеств множества А. Утверждается, что мощность множества В заведомо больше мощности множества А. Доказательство из книги: Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между множествами А и В. Иными словами, что каждому элементу x множества А взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_{x}[/math] этого множества. Элемент x может принадлежать подмножеству [math]A_{x}[/math] или не принадлежать; Первая возможность осуществляется, например, для подмножества [math]A_{x}[/math], совпадающего со всем множеством А, Вторая - для пустого подмножества. Элементы первого типа назовем "хорошими", элементы второго типа - "плохими". Соберем все плохие элементы x, т.е. не принадлежащие соответствующим подмножествам [math]A_{x}[/math], и пусть Z означает их совокупность. В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами подмножеству Z отвечает некоторый элемент [math]\boldsymbol{\zeta}[/math]. Исследуем две возможности: [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] или хороший элемент, или плохой. Если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству, т.е. [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] [math]\in[/math] Z. Но Z по построению состоит из плохих элементов, так что первая возможность исключается. Если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - плохой элемент, то он не принадлежит соответствующему подмножеству: [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] [math]\notin[/math] Z. Но Z по построению содержит все плохие элементы, поэтому и вторая возможность исключается. Мы получили противоречие: [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] не может быть ни хорошим, ни плохим элементом. Следовательно, исходная посылка - эквивалентность множества А и множества В всех подмножеств А - неверно, эти множества не эквивалентны. Мои вопросы: 1) Не поняла смысл предложения выделенный синим цветом? Помогите, пожалуйста, с переформулированием этого предложения ... 2) Разъясните, пожалуйста, вот эту строчку доказательства: "если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству, т.е. [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] [math]\in[/math] Z", по моим рассуждениям, "если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - хороший элемент", то он является элементом множества А и никак не может быть, чтобы элемент [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] принадлежал подмножеству Z, так как в это подмножество входят лишь "плохие" элементы, т.е. те, которые не принадлежат множеству А. В чем мое некорректное понимание? |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
K_A писал(а): В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами подмножеству Z отвечает некоторый элемент ζ K_A писал(а): 1) Не поняла смысл предложения выделенный синим цветом? Помогите, пожалуйста, с переформулированием этого предложения ... Переформулировать не смог, поскольку на мой взгляд написано очень ясно и лучше не придумаешь. Может пойти с другой стороны и вы напишите, что конкретно в этом предложении вам непонятно? |
||
Вернуться к началу | ||
K_A |
|
|
Непонятно взаимно однозначное соответствие между чем и чем?
Вроде бы, на мой взгляд, взаимно однозначное соответствие между подмножествами множества А и .....? "его элементами, т.е. элементами множества А" или "подмножеством Z". Заранее спасибо за ответ! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
K_A писал(а): Непонятно взаимно однозначное соответствие между чем и чем? K_A писал(а): В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами Вот тут после этого текста должна быть запятая. Она пропущена. Должно быть K_A писал(а): В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами, подмножеству Z отвечает некоторый элемент ζ |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
searcher писал(а): Вот тут после этого текста должна быть запятая. Она пропущена. Это спорно.K_A писал(а): Непонятно взаимно однозначное соответствие между чем и чем? В этом доказательстве речь идет только об одном взаимно-однозначном соответствии. K_A писал(а): Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между множествами А и В. Иными словами, что каждому элементу [math]x[/math] множества [math]A[/math] взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_x[/math] этого множества. И наоборот, каждому подмножеству [math]A[/math] соответствует некоторый элемент [math]A[/math]. В частности, подмножеству [math]Z\subseteq A[/math] соответствует [math]\zeta\in A[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
K_A |
|
|
Спасибо всем за помощь.
Но я так и не смогла осилить доказательство этой теоремы. Фраза "В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами" никак у меня не укладывается в голове, так как логически понимаю, что нельзя установить взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами. А = {1, 2, 3} K = {{1, 2, 3}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} {2, 3}, Ø} Потом начинаю думать, что автор доказательства пишет, чтобы мы предположили, что якобы можно такое взаимно однозначное соответствие провести. Читая далее "запинаюсь" на пункте про "хороший" и "плохой" элемент [math]\boldsymbol{\zeta}[/math]: "Если ζ - хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству, т.е. ζ ∈ Z". Если я правильно поняла автора, то "хорошие" элементы - это элементы множества А, каждый из которых взаимно однозначное соответствует элементам подмножества [math]A_{x}[/math]. Пусть элемент ζ является хорошим элементом, и дальше автор пишет "то он принадлежит соответствующему подмножеству, то есть ζ ∈ Z". Я вообще не могу понять этого предложения Если бы автор написал, предположим, что ζ - "хороший" элемент и что этот "хороший" элемент взаимно однозначно не соответствует ни одному элементу подмножества [math]A_{x}[/math]. Следовательно элемент ζ "плохой" и тогда ζ ∈ Z. Вот тогда бы я поняла автора Следующая строка доказательства: "Если ζ - плохой элемент, то он не принадлежит соответствующему подмножеству: ζ [math]\notin[/math] Z". Как он может не принадлежать подмножеству Z? Ведь Z - это совокупность всех плохих элементов множества А. Видать слишком сложная логика доказательства для моих мозгов |
||
Вернуться к началу | ||
Andy |
|
|
K_A
K_A писал(а): Фраза "В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами" никак у меня не укладывается в голове, так как логически понимаю, что нельзя установить взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами. Вы прочитали внимательно то доказательство, которое я дал Вам? Оно сделано "от противного". Andy писал(а): |
||
Вернуться к началу | ||
K_A |
|
|
Спасибо Andy за помощь. Приведенное Вами доказательство действительно легче для восприятия.
Я вроде смогла понять "свое доказательство" из книжки. Прочитайте корректно я все здесь расписала или нет? В "Вашем доказательстве" логика вроде такая: Вначале каждому элементу множества М ставим во взаимно однозначное соответствие элементы подмножества К. И если какой-то элемент множества М взаимно однозначно соответствует элементу подмножества К, но не входит в элемент подмножества К, то такой элемент мы включаем в множество X[math]\subset[/math]M. Но включить элемент множества М в подмножество X нельзя, так как множество X состоит из всех "плохих" ("не включенных") элементов множества М, а все элементы множества М являются "хорошими" ("включенными"). В "моем доказательстве" говорится: Что каждому элементу x множества А взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_{x}[/math] множества А. Элемент x может принадлежать подмножеству [math]A_{x}[/math] или не принадлежать. Все не принадлежащие элементы множества А включим в множество Z, которое само является элементом множества В. Множество В - это совокупность всех подмножеств множества А. И если элементу Z как подмножеству В взаимно однозначно соответствует "хороший" элемент множества А, следовательно этот "хороший" элемент принадлежит элементу Z подмножества В. А этого быть не может так как элемент Z подмножества В состоит из "плохих" элементов множества А. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Доказательство
в форуме Тригонометрия |
1 |
340 |
16 ноя 2015, 15:42 |
|
Доказательство
в форуме Геометрия |
3 |
285 |
19 ноя 2022, 11:52 |
|
Доказательство | 0 |
210 |
10 апр 2020, 09:54 |
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО | 1 |
282 |
05 авг 2017, 19:22 |
|
Доказательство
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
2 |
462 |
03 мар 2015, 14:19 |
|
Хи(R2)=7 доказательство | 0 |
196 |
30 окт 2020, 23:52 |
|
Доказательство
в форуме Геометрия |
1 |
366 |
09 апр 2015, 22:26 |
|
Доказательство
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
361 |
20 апр 2015, 21:20 |
|
Доказательство
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
385 |
27 ноя 2016, 19:16 |
|
Доказательство
в форуме Теория чисел |
3 |
399 |
22 июн 2015, 00:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |