Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 02:39 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема

Пусть дано множество А, и В есть совокупность всех подмножеств множества А. Утверждается, что мощность множества В заведомо больше мощности множества А.

Доказательство из книги:

Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между множествами А и В. Иными словами, что каждому элементу x множества А взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_{x}[/math] этого множества.
Элемент x может принадлежать подмножеству [math]A_{x}[/math] или не принадлежать;
Первая возможность осуществляется, например, для подмножества [math]A_{x}[/math], совпадающего со всем множеством А,
Вторая - для пустого подмножества.
Элементы первого типа назовем "хорошими", элементы второго типа - "плохими".
Соберем все плохие элементы x, т.е. не принадлежащие соответствующим подмножествам [math]A_{x}[/math], и пусть Z означает их совокупность.
В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами подмножеству Z отвечает некоторый элемент [math]\boldsymbol{\zeta}[/math].
Исследуем две возможности: [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] или хороший элемент, или плохой.

Если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству, т.е. [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] [math]\in[/math] Z.
Но Z по построению состоит из плохих элементов, так что первая возможность исключается.

Если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - плохой элемент, то он не принадлежит соответствующему подмножеству: [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] [math]\notin[/math] Z.
Но Z по построению содержит все плохие элементы, поэтому и вторая возможность исключается.

Мы получили противоречие: [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] не может быть ни хорошим, ни плохим элементом.
Следовательно, исходная посылка - эквивалентность множества А и множества В всех подмножеств А - неверно, эти множества не эквивалентны.

Мои вопросы:

1) Не поняла смысл предложения выделенный синим цветом? Помогите, пожалуйста, с переформулированием этого предложения ...

2) Разъясните, пожалуйста, вот эту строчку доказательства: "если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству, т.е. [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] [math]\in[/math] Z", по моим рассуждениям, "если [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] - хороший элемент", то он является элементом множества А и никак не может быть, чтобы элемент [math]\boldsymbol{\zeta}[/math] принадлежал подмножеству Z, так как в это подмножество входят лишь "плохие" элементы, т.е. те, которые не принадлежат множеству А. В чем мое некорректное понимание?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 15:41 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15230
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3348 раз в 3096 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A
Я предлагаю Вам прочитать доказательство этой теоремы, взятое из известного учебника, написанного А. Н. Колмогоровым и С. В. Фоминым. Оно понятно даже мне...

Изображение


Если у Вас и теперь возникнут вопросы, то задавайте. Попробуем разобраться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 18:18 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2388
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
342 раз в 327 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A писал(а):
В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами подмножеству Z отвечает некоторый элемент ζ

K_A писал(а):
1) Не поняла смысл предложения выделенный синим цветом? Помогите, пожалуйста, с переформулированием этого предложения ...

Переформулировать не смог, поскольку на мой взгляд написано очень ясно и лучше не придумаешь. Может пойти с другой стороны и вы напишите, что конкретно в этом предложении вам непонятно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 18:40 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Непонятно взаимно однозначное соответствие между чем и чем?
Вроде бы, на мой взгляд, взаимно однозначное соответствие между подмножествами множества А и .....? "его элементами, т.е. элементами множества А" или "подмножеством Z"
.


Заранее спасибо за ответ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 19:12 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2388
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
342 раз в 327 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A писал(а):
Непонятно взаимно однозначное соответствие между чем и чем?

K_A писал(а):
В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами

Вот тут после этого текста должна быть запятая. Она пропущена. Должно быть
K_A писал(а):
В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами, подмножеству Z отвечает некоторый элемент ζ

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 22:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 17:17
Сообщений: 1148
Cпасибо сказано: 61
Спасибо получено:
322 раз в 306 сообщениях
Очков репутации: 97

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher писал(а):
Вот тут после этого текста должна быть запятая. Она пропущена.
Это спорно.

K_A писал(а):
Непонятно взаимно однозначное соответствие между чем и чем?
В этом доказательстве речь идет только об одном взаимно-однозначном соответствии.
K_A писал(а):
Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между множествами А и В. Иными словами, что каждому элементу [math]x[/math] множества [math]A[/math] взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_x[/math] этого множества.
И наоборот, каждому подмножеству [math]A[/math] соответствует некоторый элемент [math]A[/math]. В частности, подмножеству [math]Z\subseteq A[/math] соответствует [math]\zeta\in A[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 22 июл 2017, 21:48 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо всем за помощь.

Но я так и не смогла осилить доказательство этой теоремы.

Фраза "В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами" никак у меня не укладывается в голове, так как логически понимаю, что нельзя установить взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами.

А = {1, 2, 3} K = {{1, 2, 3}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3} {2, 3}, Ø}

Потом начинаю думать, что автор доказательства пишет, чтобы мы предположили, что якобы можно такое взаимно однозначное соответствие провести.

Читая далее "запинаюсь" на пункте про "хороший" и "плохой" элемент [math]\boldsymbol{\zeta}[/math]:

"Если ζ - хороший элемент, то он принадлежит соответствующему подмножеству, т.е. ζZ".

Если я правильно поняла автора, то "хорошие" элементы - это элементы множества А, каждый из которых взаимно однозначное соответствует элементам подмножества [math]A_{x}[/math].

Пусть элемент ζ является хорошим элементом, и дальше автор пишет "то он принадлежит соответствующему подмножеству, то есть ζZ".

Я вообще не могу понять этого предложения

Если бы автор написал, предположим, что ζ - "хороший" элемент и что этот "хороший" элемент взаимно однозначно не соответствует ни одному элементу подмножества [math]A_{x}[/math]. Следовательно элемент ζ "плохой" и тогда ζZ. Вот тогда бы я поняла автора :roll:

Следующая строка доказательства:

"Если ζ - плохой элемент, то он не принадлежит соответствующему подмножеству: ζ [math]\notin[/math] Z".

Как он может не принадлежать подмножеству Z? Ведь Z - это совокупность всех плохих элементов множества А.

Видать слишком сложная логика доказательства для моих мозгов :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 23 июл 2017, 07:29 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 15230
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 953
Спасибо получено:
3348 раз в 3096 сообщениях
Очков репутации: 646

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A
K_A писал(а):
Фраза "В силу взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами" никак у меня не укладывается в голове, так как логически понимаю, что нельзя установить взаимно однозначного соответствия между подмножествами множества А и его элементами.

Вы прочитали внимательно то доказательство, которое я дал Вам? Оно сделано "от противного".
Andy писал(а):
K_A
Я предлагаю Вам прочитать доказательство этой теоремы, взятое из известного учебника, написанного А. Н. Колмогоровым и С. В. Фоминым. Оно понятно даже мне...

Изображение


Если у Вас и теперь возникнут вопросы, то задавайте. Попробуем разобраться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
СообщениеДобавлено: 23 июл 2017, 20:27 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Andy за помощь. Приведенное Вами доказательство действительно легче для восприятия.
Я вроде смогла понять "свое доказательство" из книжки. Прочитайте корректно я все здесь расписала или нет?

В "Вашем доказательстве" логика вроде такая:

Вначале каждому элементу множества М ставим во взаимно однозначное соответствие элементы подмножества К.
И если какой-то элемент множества М взаимно однозначно соответствует элементу подмножества К, но не входит в элемент подмножества К, то такой элемент мы включаем в множество X[math]\subset[/math]M.

Но включить элемент множества М в подмножество X нельзя, так как множество X состоит из всех "плохих" ("не включенных") элементов множества М, а все элементы множества М являются "хорошими" ("включенными").

В "моем доказательстве" говорится:

Что каждому элементу x множества А взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [math]A_{x}[/math] множества А.
Элемент x может принадлежать подмножеству [math]A_{x}[/math] или не принадлежать.
Все не принадлежащие элементы множества А включим в множество Z, которое само является элементом множества В.
Множество В - это совокупность всех подмножеств множества А.
И если элементу Z как подмножеству В взаимно однозначно соответствует "хороший" элемент множества А, следовательно этот "хороший" элемент принадлежит элементу Z подмножества В.
А этого быть не может так как элемент Z подмножества В состоит из "плохих" элементов множества А.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказательство

в форуме Геометрия

Zhenya2

1

159

09 апр 2015, 23:26

Доказательство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

audib4

0

195

29 окт 2012, 19:46

На доказательство

в форуме Алгебра

[fUKA]

21

318

27 июл 2016, 19:33

Доказательство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Mencer

2

167

03 мар 2015, 15:19

Доказательство

в форуме Алгебра

fabaz

4

192

07 янв 2012, 00:29

Доказательство

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

AfriCa

1

201

07 ноя 2013, 21:06

Доказательство

в форуме Ряды

Pepel

1

192

06 янв 2014, 01:23

Доказательство

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

never-sleep

2

301

11 сен 2012, 19:44

Доказательство

в форуме Геометрия

_Astarta_

1

200

24 фев 2014, 15:14

Доказательство ϕ ⇔ φ

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

afraumar

1

214

15 мар 2014, 16:46


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved