Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 14:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теорема.

Множество С(a, b) всех непрерывных функций f(x), определенных на отрезке [a, b], имеет мощность континуума.

Доказательство из книги.

Пусть [math]r_{1}[/math], [math]r_{2}[/math], [math]r_{3}[/math], [math]r_{4}[/math], [math]r_{5}[/math], [math]\ldots[/math], [math]r_{n}[/math] - последовательность всех рациональных точек отрезка [a, b].
Поставим в соответствие каждой непрерывной функции f(x) последовательность вещественных чисел - значений функции f(x) в точках [math]r_{1}[/math], [math]r_{2}[/math], [math]r_{3}[/math], [math]r_{4}[/math], [math]r_{5}[/math], [math]\ldots[/math]:

f(x) [math]\sim[/math][math]\left\{f(r_{1}), f(r_{2}), f(r_{3}), f(r_{4}),\ldots, f(r_{n}),\ldots \right\}[/math][math]=[/math] [math]\left\{ \boldsymbol{f} \left(\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{n}}\right)\right\}[/math]

При этом двум различным функциям f(x) и g(x) будут отвечать различные последовательности [math]\left\{f(r_{n})\right\}[/math] и [math]\left\{g(r_{n})\right\}[/math], поскольку две непрерывные функции, совпадающие во всех рациональных точках, совпадают и всюду.
Таким образом, множество С(a, b) всех непрерывных функций можно считать эквивалентным некоторой части множества всех числовых последовательностей.
С другой стороны, множество всех числовых последовательностей имеет по теореме (другой, которую я поняла) мощность континуума и тем самым эквивалентно части множества С(a, b), состоящей из постоянных.
В силу теоремы Бернштейна (доказательство которой, я вроде бы тоже поняла) множество С(a, b) эквивалентно множеству всех числовых последовательностей и имеет вместе с ним мощность континуума.

Мои вопросы:

1) Я рассматриваю "в своей голове" эквивалентность функции f(x) последовательности [math]\left\{f(r_{1}), f(r_{2}), f(r_{3}), f(r_{4}),\ldots, f(r_{n}),\ldots \right\}[/math] как немного схожую с такой эквивалентностью:

множество всех последовательностей из нулей и единиц и множество возрастающих последовательностей натуральных чисел, когда каждой возрастающей последовательности, состоящей из натуральных чисел мы можем поставить в соответствие одно вещественное число, состоящее из нулей и единиц.

То есть вещественное число, состоящее из нулей и единиц - это наша функция f(x), а последовательность [math]\left\{f(r_{1}), f(r_{2}), f(r_{3}), f(r_{4}),\ldots, f(r_{n}),\ldots \right\}[/math] - это возрастающая последовательность натуральных чисел.

Такое сопоставление корректно или полный абсурд? :oops:

2) не понимаю в изложенном в учебнике доказательстве слово "постоянных"? Могли бы привести какой-нибудь другой синоним или пояснение ...

Заранее всем спасибо за помощь!


Последний раз редактировалось K_A 13 июл 2017, 15:10, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 14:45 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A писал(а):
Доказательство из книги.

Из какой? То что вы написали, я не понял. Я себе представлял это дело, что любую функцию из [math]C[a,b][/math] можно как угодно точно аппроксимировать многочленами с рациональными коэффициентами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 14:53 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Книга:

https://imcs.dvfu.ru/lib.int/docs/Math/ ... c_Kurs.pdf

Страница 23-я, теорема 7.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 15:44 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A писал(а):
Книга:

https://imcs.dvfu.ru/lib.int/docs/Math/ ... c_Kurs.pdf

Страница 23-я, теорема 7.

Спасибо. Понял. К сожалению сейчас срочно спешу по делам. Как приду, сразу отвечу. Может и кто ещё поможет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 16:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 16:08
Сообщений: 2193
Cпасибо сказано: 17
Спасибо получено:
323 раз в 308 сообщениях
Очков репутации: 116

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
K_A
Вы очень правильно изложили своё понимание в своём первом посту до слов "мои вопросы". Вроде бы всё кристально ясно. Но! По первому вопросу. Я абсолютно не понял ваш ход мысли. По моему полный абсурд. По второму вопросу. Там имелось в виду постоянные функции на отрезке. Например, функция [math]f(x)=3/4[/math] для любого [math]x[/math] есть постоянная функция.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
K_A
 Заголовок сообщения: Re: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 13 июл 2017, 17:25 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо searcher за помощь.

В своем первом вопросе я просто пыталась провести параллель с чем-то подобным:

[math]\left( 1, 3, 5, 7, ... \right)[/math] [math]\longmapsto[/math] 0,1010101..., т.е. на первом, третьем, пятом и т.д. местах стоят единицы, а на остальных нули.

Получается мы можем любой последовательности натуральных чисел поставить в соответствие действительное число "0,1010101..."

Вот я думала и здесь можно примерно также соображать, т.е.:

мы какой-нибудь функции "f(x)=[math]x^{2}[/math]" можем поставить в соответствие последовательность {[math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{1}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{2}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{3}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{4}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{5}[/math]), [math]\ldots[/math]} значений функции f(x) в точках [math]r_{1}[/math], [math]r_{2}[/math], [math]r_{3}[/math], [math]r_{4}[/math], [math]r_{5}[/math], [math]\ldots[/math]

Во втором случае f(x) - это якобы действительное число, а {[math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{1}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{2}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{3}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{4}[/math]), [math]\boldsymbol{f}[/math]([math]r_{5}[/math]), [math]\ldots[/math]} - это последовательность скажем "натуральных чисел" ...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Не понимаю доказательство
СообщениеДобавлено: 14 июл 2017, 02:10 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
04 май 2017, 20:25
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher еще раз спасибо!
Ваша подсказка значения слова "постоянных" :oops: и собственные размышления убрали пелену с моих глаз. Я даже смогла наглядный рисунок этого доказательства изобразить.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Не понимаю

в форуме Алгебра

ROMARA

4

108

13 май 2016, 15:00

Предел не понимаю

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

kadet31

2

102

11 май 2015, 13:29

Не понимаю задачу

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

htr

14

466

03 ноя 2015, 10:22

Не понимаю преабразование

в форуме Алгебра

napominanie

3

191

07 дек 2014, 22:04

Ошибка или я не понимаю?

в форуме Алгебра

polooza

10

337

24 окт 2015, 20:57

Не понимаю условия. ДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Ryslannn

4

104

12 июн 2017, 18:01

Н Понимаю условие

в форуме Дифференциальное исчисление

Ryslannn

3

88

16 май 2017, 17:13

Не понимаю преобразование

в форуме Тригонометрия

Fredd

4

278

06 фев 2014, 12:03

Чего я не понимаю в задаче?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

aninibas

5

95

06 сен 2017, 00:32

Не совсем понимаю формулу

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Qgrasp

4

240

25 фев 2016, 14:16


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved