Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
frost17 |
|
|
Помогите решить задачу |
||
Вернуться к началу | ||
Student Studentovich |
|
|
frost17
дайте сначала определение метрики[math]\rho(x,y)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
frost17 |
|
|
"Элементы теории функций и функционального анализа" - Колмогоров, Фомин задача 6.10
Решил следующим образом . а) Доказать, что ρ(n,m) – метрика Решение : проверим аксиомы метрики 1) ρ(n,m) = 0 => n = m Если n ≠ m, то ρ(n,m) > 0 2) Расстояние симметрично ρ(n,m) = ρ(m,n) 3) ρ(n,k) ≤ ρ(n,m) + ρ(m,k) Таким образом , функция ρ определяет метрику. б) Доказать, что N с метрикой ρ(n,m) – полное метрическое пространство . Полное метрическое пространство – метрическое пространство , в котором каждая фундаментальная последовательность сходится. 1.IR; ρ(n,m) = |m - n| Определим расстояние этим условием. 1) ρ(n,m) = 0 => |m - n| = 0 => n = m n ≠ m , то ρ(n,m) = |m - n| > 0 2) ρ(n,m) = |m-n| , ρ(n,m) = |n - m| 3) ρ(n,k) = |k - n| = |k – m+m-n| ≤ |k - m| + |m - n| = ρ(m,k) = ρ(m,n) ρ(n,m) = ρ(m,n) Так мы определили , что прямая является метрическим пространством. Докажем полноту. Построим в нём последовательность непустых замкнутых вложенных шаров , имеющих пустое пересечение. Решение: поскольку при n ≠ m ρ(n,m) > 1 , то никакая последовательность {xn} ⊂ N не является фундаментальной , если для всех n , m ϵ N xn ≠ xm (поскольку выбирая ε < 1 , получим противоречие определению фундаментальности ). Таким образом , последовательность {xn} ⊂ (N) фундаментальна тогда и только тогда , когда она является постоянной. Поскольку всякая такая последовательность имеет предел , то всякая фундаментальная последовательность в (N) сходится , следовательно (N) – полное метрическое пространство. Преподаватель принял решение . Может кому сгодиться . |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |