Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача по метрическому пространству
СообщениеДобавлено: 31 май 2017, 23:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 май 2017, 22:59
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Помогите решить задачу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по метрическому пространству
СообщениеДобавлено: 01 июн 2017, 02:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 21:32
Сообщений: 1066
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 68
Спасибо получено:
190 раз в 177 сообщениях
Очков репутации: 34

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
frost17
дайте сначала определение метрики[math]\rho(x,y)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по метрическому пространству
СообщениеДобавлено: 05 июн 2017, 17:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 май 2017, 22:59
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Элементы теории функций и функционального анализа" - Колмогоров, Фомин задача 6.10

Решил следующим образом .

а) Доказать, что ρ(n,m) – метрика

Решение : проверим аксиомы метрики

1) ρ(n,m) = 0 => n = m
Если n ≠ m, то ρ(n,m) > 0
2) Расстояние симметрично
ρ(n,m) = ρ(m,n)
3) ρ(n,k) ≤ ρ(n,m) + ρ(m,k)

Таким образом , функция ρ определяет метрику.

б) Доказать, что N с метрикой ρ(n,m) – полное метрическое пространство .

Полное метрическое пространство – метрическое пространство , в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

1.IR; ρ(n,m) = |m - n| Определим расстояние этим условием.
1) ρ(n,m) = 0 => |m - n| = 0 => n = m n ≠ m , то ρ(n,m) = |m - n| > 0
2) ρ(n,m) = |m-n| , ρ(n,m) = |n - m|
3) ρ(n,k) = |k - n| = |k – m+m-n| ≤ |k - m| + |m - n| = ρ(m,k) = ρ(m,n) ρ(n,m) = ρ(m,n)
Так мы определили , что прямая является метрическим пространством.

Докажем полноту.
Построим в нём последовательность непустых замкнутых вложенных шаров , имеющих пустое пересечение. Решение: поскольку при n ≠ m ρ(n,m) > 1 , то никакая последовательность {xn} ⊂ N не является фундаментальной , если для всех n , m ϵ N xn ≠ xm (поскольку выбирая ε < 1 , получим противоречие определению фундаментальности ). Таким образом , последовательность {xn} ⊂ (N) фундаментальна тогда и только тогда , когда она является постоянной. Поскольку всякая такая последовательность имеет предел , то всякая фундаментальная последовательность в (N) сходится , следовательно (N) – полное метрическое пространство.

Преподаватель принял решение . Может кому сгодиться .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Принадлежит ли последовательность пространству l2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

j_wonderwall

2

458

15 янв 2017, 21:15

Как перейти к пространству большей размерности?

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

0

279

27 сен 2016, 20:26

Тройной интеграл по импульсному пространству

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Efkabal

0

103

20 май 2020, 18:44

Принадлежит ли функция пространству Лебега

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

uzu_hero

5

363

19 сен 2020, 13:58

Проверить принадлежит ли функция пространству. 6 задание

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Sofaaahcy56

2

110

24 окт 2023, 15:10

Объединение подпространств не равно всему пространству?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Stealer

3

241

29 июл 2021, 20:17

Проверить принадлежит ли функция пространству Соболева

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Kav_sb

1

453

24 ноя 2016, 23:50

Теория вероятности: задача про шары и задача про точку

в форуме Теория вероятностей

AdmiralAnanas

6

484

02 окт 2021, 01:43

Задача на построение. Корректна ли задача?

в форуме Геометрия

Student Studentovich

9

663

19 июл 2020, 19:17

Задача

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

a_ksusha

0

523

30 сен 2015, 09:05


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved