Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача по метрическому пространству
СообщениеДобавлено: 01 июн 2017, 00:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 май 2017, 23:59
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Помогите решить задачу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по метрическому пространству
СообщениеДобавлено: 01 июн 2017, 03:01 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
24 ноя 2016, 22:32
Сообщений: 774
Откуда: Махачкала
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
115 раз в 109 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
frost17
дайте сначала определение метрики[math]\rho(x,y)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задача по метрическому пространству
СообщениеДобавлено: 05 июн 2017, 18:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 май 2017, 23:59
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
"Элементы теории функций и функционального анализа" - Колмогоров, Фомин задача 6.10

Решил следующим образом .

а) Доказать, что ρ(n,m) – метрика

Решение : проверим аксиомы метрики

1) ρ(n,m) = 0 => n = m
Если n ≠ m, то ρ(n,m) > 0
2) Расстояние симметрично
ρ(n,m) = ρ(m,n)
3) ρ(n,k) ≤ ρ(n,m) + ρ(m,k)

Таким образом , функция ρ определяет метрику.

б) Доказать, что N с метрикой ρ(n,m) – полное метрическое пространство .

Полное метрическое пространство – метрическое пространство , в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

1.IR; ρ(n,m) = |m - n| Определим расстояние этим условием.
1) ρ(n,m) = 0 => |m - n| = 0 => n = m n ≠ m , то ρ(n,m) = |m - n| > 0
2) ρ(n,m) = |m-n| , ρ(n,m) = |n - m|
3) ρ(n,k) = |k - n| = |k – m+m-n| ≤ |k - m| + |m - n| = ρ(m,k) = ρ(m,n) ρ(n,m) = ρ(m,n)
Так мы определили , что прямая является метрическим пространством.

Докажем полноту.
Построим в нём последовательность непустых замкнутых вложенных шаров , имеющих пустое пересечение. Решение: поскольку при n ≠ m ρ(n,m) > 1 , то никакая последовательность {xn} ⊂ N не является фундаментальной , если для всех n , m ϵ N xn ≠ xm (поскольку выбирая ε < 1 , получим противоречие определению фундаментальности ). Таким образом , последовательность {xn} ⊂ (N) фундаментальна тогда и только тогда , когда она является постоянной. Поскольку всякая такая последовательность имеет предел , то всякая фундаментальная последовательность в (N) сходится , следовательно (N) – полное метрическое пространство.

Преподаватель принял решение . Может кому сгодиться .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Принадлежит ли последовательность пространству l2

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

j_wonderwall

2

76

15 янв 2017, 22:15

Задание по векторному пространству

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Foby22

1

118

15 дек 2013, 09:33

Показать, что функция принадлежит пространству

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

AndyTrust

2

367

06 сен 2012, 00:12

Как перейти к пространству большей размерности?

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

0

72

27 сен 2016, 21:26

Проверить принадлежит ли функция пространству Соболева

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Kav_sb

1

128

25 ноя 2016, 00:50

Задача №10

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

1

125

15 окт 2016, 20:31

Задача

в форуме Теория чисел

tan_tan

1

561

22 ноя 2013, 19:08

Задача №9

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

andrei

3

116

15 окт 2016, 14:07

Задача 23 из ОГЭ

в форуме Алгебра

Dir

8

292

07 апр 2015, 17:15

Задача

в форуме Экономика и Финансы

denisi-svetlana

7

269

31 мар 2015, 17:45


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved