Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Подпространство в пространстве С[-1,1]
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=53801
Страница 1 из 1

Автор:  mkindi [ 08 апр 2017, 18:45 ]
Заголовок сообщения:  Подпространство в пространстве С[-1,1]

Образуют ли в пространстве С[-1,1] подпространство абсолютно непрерывные функции?

Автор:  neurocore [ 09 апр 2017, 19:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

Я знаю 2 свойства подпространств:
1) Сумма непрерывных функций должна быть непрерывной
2) Умножение на константу не должно влиять на непрерывность

Всё это разумеется на отрезке [-1,1]
Выполняется?

Автор:  mkindi [ 09 апр 2017, 21:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

neurocore писал(а):
Я знаю 2 свойства подпространств:
1) Сумма непрерывных функций должна быть непрерывной
2) Умножение на константу не должно влиять на непрерывность

Всё это разумеется на отрезке [-1,1]
Выполняется?



мы должны показать два свойства
1) Ваше 1+2-это линейное многообразие,да это выполняется
2) пусть любая последовательность (xn) сходится к x0. Показать,что x0-абсолютно непрерывная

вот со вторым пунктом проблемы

Автор:  searcher [ 09 апр 2017, 23:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

mkindi писал(а):
вот со вторым пунктом проблемы

А просто применить предельный переход к определению абс. непрерывных функций не пробовали? (Типа, как полнота [math]C[0,1][/math] доказывается - хотя это не просто "перейти к пределу", но лишь чуть сложнее).

Автор:  Human [ 10 апр 2017, 19:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

Я почти не работал с абсолютно непрерывными функциями (так что меня нужно проверить), но вроде как можно построить последовательность таких функций, которая сходится равномерно к функции, не являющей абсолютно непрерывной. Например:

[math]f_n(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&|x|\geqslant\dfrac1{\pi n}\\ 0,&|x|<\dfrac1{\pi n}\end{cases}[/math]

абсолютно непрерывны (даже липшицевы), и сходятся равномерно к

[math]f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0\\ 0,&x=0\end{cases}[/math]

поскольку [math]|f(x)-f_n(x)|\leqslant\frac1{\pi n}[/math]. Но, как известно, [math]f(x)[/math] не имеет ограниченной вариации в окрестности нуля, так что она не абсолютно непрерывна.

Автор:  Prokop [ 10 апр 2017, 21:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

Многочлены плотны в пространстве C[math]\left[ -1,1 \right][/math]

Автор:  Human [ 11 апр 2017, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

Prokop писал(а):
Многочлены плотны в пространстве C[math]\left[ -1,1 \right][/math]

Кстати да. А все многочлены абсолютно непрерывны. Так что достаточно предъявить хоть одну непрерывную, но не абсолютно непрерывную функцию.

Автор:  Prokop [ 11 апр 2017, 17:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

В качестве примера можно предъявить функцию Вейерштрасса.

Автор:  Human [ 11 апр 2017, 18:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

Prokop писал(а):
В качестве примера можно предъявить функцию Вейерштрасса.

А та функция, которую я привел ранее:
Human писал(а):
[math]f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0\\ 0,&x=0\end{cases}[/math]

не подойдет?

Автор:  Prokop [ 11 апр 2017, 18:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Подпространство в пространстве С[-1,1]

Подойдёт. Классики, обычно, предъявляют функцию [math]f\left( x \right) = x \cdot \cos \frac{\pi}{{2x}},\;\quad 0 < x \leqslant 1,\;f\left( 0 \right) = 0.[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/