Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Подпространство в пространстве С[-1,1] http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=53801 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | mkindi [ 08 апр 2017, 18:45 ] |
Заголовок сообщения: | Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Образуют ли в пространстве С[-1,1] подпространство абсолютно непрерывные функции? |
Автор: | neurocore [ 09 апр 2017, 19:15 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Я знаю 2 свойства подпространств: 1) Сумма непрерывных функций должна быть непрерывной 2) Умножение на константу не должно влиять на непрерывность Всё это разумеется на отрезке [-1,1] Выполняется? |
Автор: | mkindi [ 09 апр 2017, 21:11 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
neurocore писал(а): Я знаю 2 свойства подпространств: 1) Сумма непрерывных функций должна быть непрерывной 2) Умножение на константу не должно влиять на непрерывность Всё это разумеется на отрезке [-1,1] Выполняется? мы должны показать два свойства 1) Ваше 1+2-это линейное многообразие,да это выполняется 2) пусть любая последовательность (xn) сходится к x0. Показать,что x0-абсолютно непрерывная вот со вторым пунктом проблемы |
Автор: | searcher [ 09 апр 2017, 23:09 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
mkindi писал(а): вот со вторым пунктом проблемы А просто применить предельный переход к определению абс. непрерывных функций не пробовали? (Типа, как полнота [math]C[0,1][/math] доказывается - хотя это не просто "перейти к пределу", но лишь чуть сложнее). |
Автор: | Human [ 10 апр 2017, 19:14 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Я почти не работал с абсолютно непрерывными функциями (так что меня нужно проверить), но вроде как можно построить последовательность таких функций, которая сходится равномерно к функции, не являющей абсолютно непрерывной. Например: [math]f_n(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&|x|\geqslant\dfrac1{\pi n}\\ 0,&|x|<\dfrac1{\pi n}\end{cases}[/math] абсолютно непрерывны (даже липшицевы), и сходятся равномерно к [math]f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0\\ 0,&x=0\end{cases}[/math] поскольку [math]|f(x)-f_n(x)|\leqslant\frac1{\pi n}[/math]. Но, как известно, [math]f(x)[/math] не имеет ограниченной вариации в окрестности нуля, так что она не абсолютно непрерывна. |
Автор: | Prokop [ 10 апр 2017, 21:33 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Многочлены плотны в пространстве C[math]\left[ -1,1 \right][/math] |
Автор: | Human [ 11 апр 2017, 12:13 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Prokop писал(а): Многочлены плотны в пространстве C[math]\left[ -1,1 \right][/math] Кстати да. А все многочлены абсолютно непрерывны. Так что достаточно предъявить хоть одну непрерывную, но не абсолютно непрерывную функцию. |
Автор: | Prokop [ 11 апр 2017, 17:52 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
В качестве примера можно предъявить функцию Вейерштрасса. |
Автор: | Human [ 11 апр 2017, 18:00 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Prokop писал(а): В качестве примера можно предъявить функцию Вейерштрасса. А та функция, которую я привел ранее: Human писал(а): [math]f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0\\ 0,&x=0\end{cases}[/math] не подойдет? |
Автор: | Prokop [ 11 апр 2017, 18:49 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Подпространство в пространстве С[-1,1] |
Подойдёт. Классики, обычно, предъявляют функцию [math]f\left( x \right) = x \cdot \cos \frac{\pi}{{2x}},\;\quad 0 < x \leqslant 1,\;f\left( 0 \right) = 0.[/math] |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |