Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Эквивалентность норм в НВП
СообщениеДобавлено: 08 апр 2017, 15:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 апр 2017, 00:05
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Определить, являются ли данные нормы эквивалентными в нормированном пространстве два раза непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций:
[math]\left\| x \right\|[/math] [math]_{1}[/math]=[math]\left\| x \right\|[/math][math]_{C^{2} [a,b]}[/math]=max[math]\left| x(t) \right|[/math]+max[math]\left| x'(t) \right|[/math]+max[math]\left| x''(t) \right|[/math]
[math]\left\| x \right\|[/math] [math]_{2}[/math]=max[math]\left| x''(t) \right|[/math]+[math]\left( \int\limits_{a}^{b} \left| x(t) \right| ^{2} dt \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность норм в НВП
СообщениеДобавлено: 10 апр 2017, 22:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Оценка в одну сторону очевидна [math]{\left\| x \right\|_2}\leqslant{c_1}{\left\| x \right\|_1}[/math], где [math]{c_1}> 0[/math] - константа.
Доказать неравенство в другую сторону можно исходя из представления
[math]x\left( t \right) = \int\limits_a^t{x''\left( s \right) \cdot \left({t - s}\right)}\;ds + \left({t - a}\right)x'\left( a \right) + x\left( a \right) = I\left( x \right) + \left({t - a}\right)x'\left( a \right) + x\left( a \right)[/math]
Для первого слагаемого (интеграла) справедлива оценка
[math]\left\| I\left( x \right) \right\|_1 \leq {c_2}\left\| x \right\|_2[/math]
Для двумерного пространства линейных функций все нормы эквивалентны. Поэтому
[math]\left\|\left( t-a \right) x'\left( a \right)+x\left( a \right) \right\|_1 \leq {c_3}\left\| x \right\|_2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность норм в НВП
СообщениеДобавлено: 11 апр 2017, 13:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop
В задании же интеграл от квадрата функции, так что все, наоборот, плохо. Достаточно рассмотреть тождественные константы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность норм в НВП
СообщениеДобавлено: 11 апр 2017, 18:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В задании опечатка. Там во второй норме, наверняка, стоит норма [math]{L^2}\left({a,b}\right)[/math]. В противном случае это не норма.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Human
 Заголовок сообщения: Re: Эквивалентность норм в НВП
СообщениеДобавлено: 11 апр 2017, 19:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
В задании опечатка. Там во второй норме, наверняка, стоит норма [math]{L^2}\left({a,b}\right)[/math]. В противном случае это не норма.

Согласен, был невнимателен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Проверка норм

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Vet

4

80

05 июн 2017, 19:38

Расчет норм труда

в форуме Экономика и Финансы

Marina01

15

3119

28 ноя 2012, 23:33

Доказательство неравенства норм

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

warmspringwinds

1

181

19 сен 2015, 23:46

Мультипликативные оценки норм производных

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

allfake2014

1

351

16 июн 2014, 16:29

Мультипликативные оценки норм производных

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

allfake2014

2

357

25 июн 2014, 20:11

Задачи на поиск норм, замкнутые операторы и др.

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Danielian

3

316

23 янв 2012, 13:50

Как вычислять теоретическую фун. распред. для норм. закона?

в форуме Теория вероятностей

Dmitry_Veslogrebov

4

253

22 апр 2012, 15:12

Марковский процесс, пер. функция - усеченное норм. распр.

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

landserg

0

88

21 май 2016, 22:16

Эквивалентность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ket

1

539

02 фев 2014, 21:45

Эквивалентность sqr(tg(x))

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lakersfun

6

160

23 июн 2015, 01:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved