Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Elissa |
|
|
мне нужна помощь в следующей задаче..вернее части задачи. (не увереная где надо было поставить тему, работа по анализу и дифференциальным уравнениям) Я хочу показать что Если [math]\int_{\Omega} v \Delta \xi \leq 0[/math] для всех [math]\xi \in C^{2}_{0} (\overline{\Omega}) \text{ , } \xi \geq 0[/math] в [math]\Omega[/math] тогда [math]v \leq 0[/math] почти везде. [math]\Omega[/math] ограниченная область с гладкой поверхностью. Доказательство: Для [math]v \in W^{1,1}_{0}(\Omega)[/math], [math]\xi \in C^{2}_{0} (\overline{\Omega})[/math], [math]\xi \geq 0[/math] в [math]\overline{\Omega}[/math] мы имеем \begin{align*} \int_{\Omega} v \Delta \xi \leq 0. \end{align*} Пусть [math]f \in C^{2}(\overline{\Omega})[/math] и [math]\xi[/math] решение следующей линейной проблемы \begin{align*} \begin{cases} \Delta \xi &=f \quad \text{в } \Omega \\ \hspace{0.8cm} \xi&=0 \quad \text{в } \partial \Omega \\ \end{cases} \end{align*} Если [math]f \geq 0[/math] то [math]\Delta \xi =f \geq 0[/math] и [math]\Delta \xi \geq 0[/math]. Пока [math]\xi \geq 0[/math], [math]\xi[/math] субгармоничная функция в [math]\Omega[/math]. Следует что \begin{align*} \int_{\Omega} v \Delta \xi = \int_{\Omega} v (f) \leq 0 \end{align*}. Мы можем найти последовательность [math]f_{k}[/math] которая ограничена и сходится почти везде к функции \begin{align*} \chi_{v >0}=\begin{cases} 1 &\text{ для } v >0 \\ 0 &\text{ в других случаях} \end{cases} \end{align*} Мы получаем \begin{align*} \lim_{k \to \infty} \int_{\Omega} v f_{k} = \begin{cases} \int_{v>0} v &\text{ для } v >0 \\ 0 &\text{ в других случаях} \end{cases} \end{align*} В итоге \begin{align*} \int_{v>0} v \leq 0. \end{align*} Следует что [math]v=0[/math] почти везде.По теореме должно следовать что [math]v \leq 0[/math]..Что я делаю неправильно? Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
|
да вроде в таком духе и надо. посмотрите M Taylor Partial differential equations vol1 она есть в сети в djvu
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали: Elissa |
||
Elissa |
|
|
Cпаcибо, проблема состоит в том что все доказательства везде для [math]v \in W^{1,2}_{0}[/math] а у меня только [math]v \in W^{1,1}_{0}[/math]...Если [math]v \in W^{1,2}_{0}[/math], то можно было бы легко это доказать взяв [math]v^{+}, v^{-}[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |