Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Слабый принцип максимума
СообщениеДобавлено: 25 дек 2016, 15:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2016, 12:11
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте,

мне нужна помощь в следующей задаче..вернее части задачи. (не увереная где надо было поставить тему, работа по анализу и дифференциальным уравнениям) Я хочу показать что
Если
[math]\int_{\Omega} v \Delta \xi \leq 0[/math] для всех [math]\xi \in C^{2}_{0} (\overline{\Omega}) \text{ , } \xi \geq 0[/math] в [math]\Omega[/math]
тогда
[math]v \leq 0[/math] почти везде.

[math]\Omega[/math] ограниченная область с гладкой поверхностью.

Доказательство: Для [math]v \in W^{1,1}_{0}(\Omega)[/math], [math]\xi \in C^{2}_{0} (\overline{\Omega})[/math], [math]\xi \geq 0[/math] в [math]\overline{\Omega}[/math] мы имеем

\begin{align*}
\int_{\Omega} v \Delta \xi \leq 0.
\end{align*}

Пусть [math]f \in C^{2}(\overline{\Omega})[/math] и [math]\xi[/math] решение следующей линейной проблемы

\begin{align*}
\begin{cases}
\Delta \xi &=f \quad \text{в } \Omega \\
\hspace{0.8cm} \xi&=0 \quad \text{в } \partial \Omega \\
\end{cases}
\end{align*}

Если [math]f \geq 0[/math] то [math]\Delta \xi =f \geq 0[/math] и [math]\Delta \xi \geq 0[/math]. Пока [math]\xi \geq 0[/math], [math]\xi[/math] субгармоничная функция в [math]\Omega[/math].
Следует что
\begin{align*}
\int_{\Omega} v \Delta \xi = \int_{\Omega} v (f) \leq 0
\end{align*}.

Мы можем найти последовательность [math]f_{k}[/math] которая ограничена и сходится почти везде к функции
\begin{align*}
\chi_{v >0}=\begin{cases}
1 &\text{ для } v >0 \\
0 &\text{ в других случаях}
\end{cases}
\end{align*}
Мы получаем

\begin{align*}
\lim_{k \to \infty} \int_{\Omega} v f_{k} = \begin{cases}
\int_{v>0} v &\text{ для } v >0 \\
0 &\text{ в других случаях}
\end{cases}
\end{align*}

В итоге
\begin{align*}
\int_{v>0} v \leq 0.
\end{align*} Следует что [math]v=0[/math] почти везде.По теореме должно следовать что [math]v \leq 0[/math]..Что я делаю неправильно? Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Слабый принцип максимума
СообщениеДобавлено: 25 дек 2016, 16:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
да вроде в таком духе и надо. посмотрите M Taylor Partial differential equations vol1 она есть в сети в djvu

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
Elissa
 Заголовок сообщения: Re: Слабый принцип максимума
СообщениеДобавлено: 26 дек 2016, 14:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
14 сен 2016, 12:11
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Cпаcибо, проблема состоит в том что все доказательства везде для [math]v \in W^{1,2}_{0}[/math] а у меня только [math]v \in W^{1,1}_{0}[/math]...Если [math]v \in W^{1,2}_{0}[/math], то можно было бы легко это доказать взяв [math]v^{+}, v^{-}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Точка максимума

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

marlena

11

589

07 мар 2019, 10:18

Нахождение максимума функции

в форуме Дифференциальное исчисление

b10s

2

380

14 май 2014, 18:19

Найти т. максимума функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

oak1996

5

554

04 апр 2015, 04:45

Точка локального максимума функции

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

sergey_boreysha

5

356

26 июн 2019, 11:04

Проверить граничные точки ОДЗ на достижение в них максимума

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

bsuart

3

694

01 окт 2017, 19:38

Найдите точки максимума и минимума и промежутки монотонности

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

t1nk3

5

384

10 май 2017, 21:11

Вариационный принцип

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Space

5

270

28 май 2018, 19:34

Принцип двойственности

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

mazafaka

3

632

08 июн 2016, 15:52

Принцип суперпозиции (2)

в форуме Электричество и Магнетизм

MuCTeP_TTP0

7

264

20 сен 2023, 23:21

Принцип Дирихле

в форуме Теория чисел

silversurficus

9

524

13 июл 2021, 14:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved