Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Mishima |
|
|
Нужно доказать, что выражение является метрикой на вещественной прямой и,если является, доказать полноту метрического пространства. Возникла проблема при решении неравенства треугольника. [math]\frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |x-y| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|x-y|) }}} ^{2} } \leqslant \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |x-z| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|x-z|) }}} ^{2} } + \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |z-y| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|z-y|) }}} ^{2} }[/math] Пробовал делать замену и разложить: x-z = a, z - y = b => x-y=a+b Получил: [math]\frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |a+b| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|a+b|) }}} ^{2} } \leqslant \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |a| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|a|) }}} ^{2} } + \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |b| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|b|) }}} ^{2} }[/math] Но не помогло и я не смог придти к окончательному решению...... С полнотой тоже проблемы. Буду благодарен за помощь. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Это следует из очевидных неравенств:
[math]\frac a{1+a^2} \geqslant \frac a{1+(a+b)^2}[/math] [math]\frac b{1+b^2} \geqslant \frac b{1+(a+b)^2}[/math] Что касается полноты, то вы не указали пространство. Если речь идет об [math]\mathbb R[/math], то используйте, что [math]\rho (x,y) \leqslant \rho^*(x,y)[/math], где [math]\rho (x,y)[/math] - расстояние по исследуемой метрике, а [math]\rho^*[/math] - расстояние, порожденное "обычной" метрикой: [math]\rho^*(x,y)=|x-y|[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |