Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Неравенство треугольника и полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 04 дек 2016, 19:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2016, 19:24
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сегодня, 19:16 Доказательство, что выражение [math]\frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |x-y| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|x-y|) }}} ^{2} }[/math] является метрикой. Неравенство треугольника
Нужно доказать, что выражение является метрикой на вещественной прямой и,если является, доказать полноту метрического пространства. Возникла проблема при решении неравенства треугольника.
[math]\frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |x-y| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|x-y|) }}} ^{2} } \leqslant \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |x-z| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|x-z|) }}} ^{2} } + \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |z-y| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|z-y|) }}} ^{2} }[/math]

Пробовал делать замену и разложить: x-z = a, z - y = b => x-y=a+b

Получил: [math]\frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |a+b| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|a+b|) }}} ^{2} } \leqslant \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |a| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|a|) }}} ^{2} } + \frac{ {\color{black}\boxed{{\color{black} |b| }}} }{ {\color{black}\boxed{{\color{black} 1+(|b|) }}} ^{2} }[/math]

Но не помогло и я не смог придти к окончательному решению......

С полнотой тоже проблемы. Буду благодарен за помощь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Неравенство треугольника и полнота метрического пространства
СообщениеДобавлено: 05 дек 2016, 11:22 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 5777
Cпасибо сказано: 90
Спасибо получено:
1273 раз в 1162 сообщениях
Очков репутации: 247

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это следует из очевидных неравенств:

[math]\frac a{1+a^2} \geqslant \frac a{1+(a+b)^2}[/math]

[math]\frac b{1+b^2} \geqslant \frac b{1+(a+b)^2}[/math]

Что касается полноты, то вы не указали пространство.

Если речь идет об [math]\mathbb R[/math], то используйте, что

[math]\rho (x,y) \leqslant \rho^*(x,y)[/math], где [math]\rho (x,y)[/math] - расстояние по исследуемой метрике, а [math]\rho^*[/math] - расстояние, порожденное "обычной" метрикой: [math]\rho^*(x,y)=|x-y|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ann96

1

416

22 ноя 2015, 16:18

Полнота метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Asiria

15

227

09 фев 2020, 15:27

Полнота метрического пространства

в форуме Численные методы

tanya_195

1

378

13 июн 2015, 10:59

Сепарабельное метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

SAVANTOS

3

384

27 май 2015, 19:59

Пополнение метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Pottfer

7

457

14 мар 2017, 19:52

Полнота пространства (X,p)

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shooroop

10

833

20 дек 2013, 22:52

Показать полноту метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MNOPRST

1

392

18 апр 2015, 12:08

Как доказать полноту метрического пространства?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Morozy4

3

1389

13 июн 2013, 00:43

Проверить полноту метрического пространства X

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

JosephK

3

1235

09 мар 2012, 22:10

Найти пополнение метрического пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

mugler02

1

574

24 дек 2013, 11:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved