Математический форум Math Help Planet

Компактен ли оператор [math](Ax)(t)=x(1)-x(t)\int_{0}^{1}x(s)ds[/math] в пространстве [math]C[0, 1][/math]?
Сначала, пытался доказать, что оператор компактен. Делал это через определение компактного оператора, через теорему Асколи - Арцела, но в итоге ничего не вышло. Да и еще, преподаватель сказал, что оператор не компактен. Потом стал доказывать не компактность через теорему Банаха об обратном операторе(если существует обратный, то оператор не компактен), через теорему И. К. Даугавета, но все безуспешно. Не буду расписывать свои неправильные решения. Помогите решить, хотя бы правильную идею подкиньте. Если до послезавтра не решу, меня отчислят(((

Оператор нелинейный. Сузьте этот оператор на ограниченное множество [math]\{x(t)\in C[0,1]\mid \|x\|\le 10,\quad \int_0^1x(s)ds=1\}[/math] Убедитесь, что образ этого множества, не является относительно компактным

возьмите последовательность функций [math]x_n(t)=\sin(4\pi nt)[/math] при [math]0\le t\le 0,5[/math] и [math]x_n(t)=8t-4[/math] для остальных t