Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 15 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Gargantua |
|
|
Пусть нормированное пространство [math]X[/math] состоит из непрерывных на отрезке [math][0,1][/math] функций с нормой [math]\|(x(\cdot))\|=\int_{0}^{1}|x(t)|dt[/math]. Принадлежит ли линейный функционал [math]\left \langle x^*,x(\cdot) \right \rangle=x(0)[/math] пространству [math]X^*[/math]? |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Вам нужно проверить - является ли данный линейный функционал непрерывным.
|
||
Вернуться к началу | ||
Gargantua |
|
|
swan,
Откуда это следует, ведь в общем случае для принадлежности сопряжённому пространству функционал не обязан быть непрерывным? [math]\left \| \langle x^{*}(x_{n}(t) \right \rangle -x(0) \| = \| x_{n}(0)-x(0) \| <= \| x_{n}(0) \| + \| x(0)) \| = 0[/math]. Отсюда [math]x_{n}(0) \equiv x(0)[/math], функционал непрерывен, потому что принимает всегда одно и то же значение для любого элемента из [math]X[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Gargantua писал(а): Откуда это следует, ведь в общем случае для принадлежности сопряжённому пространству функционал не обязан быть непрерывным? Заинтриговали. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Gargantua писал(а): в общем случае для принадлежности сопряжённому пространству функционал не обязан быть непрерывным? Что, правда? пруф, пожалуйста. И определение сопряженного пространства. Функционал, между прочим, непрерывным не будет. Gargantua писал(а): функционал непрерывен, потому что принимает всегда одно и то же значение для любого элемента из X а вот это явная чушь - так как вы утверждаете, что все непрерывные функции принимают в нуле одно и то же значение. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Я кажется понял ваши затруднения. Речь идет о звездном сопряженном пространстве. А звездочкой обозначается именно пространство непрерывных л.ф.
|
||
Вернуться к началу | ||
Gargantua |
|
|
swan
Утверждение о непрерывности в том виде, что я его привёл - чушь, согласен. Сопряжённое к [math]X[/math] пространство [math]X^{*}[/math] - совокупность всех линейных функционалов, определённых на линейном нормированном пространстве [math]X[/math] (Люстерник, Соболев "Элементы Функ. ан."). В книге Колмогорова и Фомина даётся определение "совокупности всех непрерывных линейных функционалов". Да, про определение из КФ я не знал, поэтому и возник вопрос. Что касается примера не непрерывного линейного функционала на линейном нормированном пространстве: Рассмотрим пространство [math]C^1[0,1][/math] с нормой [math]\|x\|=\sup\limits_{t\in[0,1]}|x(t)|[/math]. Определим линейный функционал [math]f(x)=x^{'}(0)[/math]. Рассмотрим последовательность функций [math]x_n(t)=\frac{1}{n}\sin(nt)[/math], принадлежащих [math]C^1[0,1][/math] и сходящихся к [math]0[/math]. Но [math]f(x_n)=\cos(nt)|_{(t=0)}=1[/math] не сходится к [math]f(0)=0[/math]. Возвращаясь к исходной задаче. Если функционал не является непрерывным, то, как я понимаю, необходимо найти пример последовательности функций такой, что [math]x_n(t)\mapsto x_0(t)[/math] для всех [math]t\in[0,1][/math], но при этом [math]x_n(0)\not\mapsto x_0(0)[/math]. Как так может быть?. Или с другой стороны, линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. Предположив ограниченность, мы получаем, что [math]f(x)=x(0)\equiv0[/math] для любого [math]x\in X[/math], что очевидно не верно. Можно ли так доказать? |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Gargantua писал(а): Предположив ограниченность, мы получаем, что f(x)=x(0)≡0 для любого x∈X, что очевидно не верно. Как то лихо. Я так не умею. Можно доказывать неограниченность, желательно только по определению и без кавалерийских выводов, только кажется, что проще напрямую. Рассмотрите последовательность непрерывных функций равных нулю, за исключением нароста в нуле высоты 1. |
||
Вернуться к началу | ||
Gargantua |
|
|
[math]x_n(t)=\left\{\!\begin{aligned}
& 1-nt, t\in \left[0,\frac{1}{n}\right] \\ & 0, t\in \left(\frac{1}{n},1\right] \end{aligned}\right.[/math]. Тогда [math]x_n(t) \mapsto 0[/math]. Но [math]f(x_n)=x_n(0)=1 \not \mapsto 0[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
Gargantua писал(а): [math]x_n(t)=\left\{\!\begin{aligned} & 1-nt, t\in \left[0,\frac{1}{n}\right] \\ & 0, t\in \left(\frac{1}{n},1\right] \end{aligned}\right.[/math]. Тогда [math]x_n(t) \mapsto 0[/math]. Но [math]f(x_n)=x_n(0)=1 \not \mapsto 0[/math] И что? (Извините, что вмешиваюсь). Вы бы не могли словами прокомментировать ваши вычисления? Я бы лично делал так. Нашёл бы последовательность ломанных, интеграл от абсолютной величины которых был бы равен единице. Т.е. функции принадлежат единичной сфере в [math]L_1[0,1][/math]. Но ломанные [math]x(t)[/math]строить так, чтобы [math]x(0) \to \infty[/math]. Тогда наш функционал будет неограниченный на единичной сфере. Следовательно. он не непрерывный и не принадлежит сопряжённому пространству. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 15 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сопряжённое | 4 |
371 |
16 июн 2019, 21:01 |
|
Сопряженное числителя.
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
225 |
21 окт 2014, 22:25 |
|
Для чего домножаем на сопряжённое? | 4 |
526 |
08 фев 2016, 20:48 |
|
Сопряженное априорное распределение
в форуме Теория вероятностей |
0 |
310 |
25 окт 2015, 02:38 |
|
Иррациональное уравнение. Умножение на сопряженное
в форуме Алгебра |
9 |
804 |
11 окт 2015, 17:32 |
|
Пространство
в форуме Геометрия |
30 |
691 |
07 июл 2020, 10:02 |
|
Пространство Минковского
в форуме MathCad |
3 |
172 |
03 ноя 2023, 21:57 |
|
Линейное пространство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
2 |
507 |
26 сен 2014, 17:49 |
|
Пространство Минковского
в форуме Специальные разделы |
33 |
1564 |
05 янв 2017, 03:18 |
|
Линейное пространство
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
4 |
757 |
15 дек 2014, 22:38 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |