Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 27 июн 2016, 22:53 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 авг 2014, 18:08
Сообщений: 74
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Не понимаю, куда двигаться в следующей задаче:
Пусть нормированное пространство [math]X[/math] состоит из непрерывных на отрезке [math][0,1][/math] функций с нормой [math]\|(x(\cdot))\|=\int_{0}^{1}|x(t)|dt[/math]. Принадлежит ли линейный функционал [math]\left \langle x^*,x(\cdot) \right \rangle=x(0)[/math] пространству [math]X^*[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 28 июн 2016, 00:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вам нужно проверить - является ли данный линейный функционал непрерывным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 28 июн 2016, 10:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 авг 2014, 18:08
Сообщений: 74
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan,
Откуда это следует, ведь в общем случае для принадлежности сопряжённому пространству функционал не обязан быть непрерывным?
[math]\left \| \langle x^{*}(x_{n}(t) \right \rangle -x(0) \| = \| x_{n}(0)-x(0) \| <= \| x_{n}(0) \| + \| x(0)) \| = 0[/math]. Отсюда [math]x_{n}(0) \equiv x(0)[/math], функционал непрерывен, потому что принимает всегда одно и то же значение для любого элемента из [math]X[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 28 июн 2016, 10:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gargantua писал(а):
Откуда это следует, ведь в общем случае для принадлежности сопряжённому пространству функционал не обязан быть непрерывным?

Заинтриговали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 28 июн 2016, 18:21 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gargantua писал(а):
в общем случае для принадлежности сопряжённому пространству функционал не обязан быть непрерывным?

Что, правда? пруф, пожалуйста. И определение сопряженного пространства.
Функционал, между прочим, непрерывным не будет.
Gargantua писал(а):
функционал непрерывен, потому что принимает всегда одно и то же значение для любого элемента из
X

а вот это явная чушь - так как вы утверждаете, что все непрерывные функции принимают в нуле одно и то же значение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 29 июн 2016, 00:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я кажется понял ваши затруднения. Речь идет о звездном сопряженном пространстве. А звездочкой обозначается именно пространство непрерывных л.ф.
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом линейном пространстве [math]{\displaystyle E}[/math], также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к [math]{\displaystyle E}[/math], оно обычно обозначается [math]{\displaystyle E^{*}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 29 июн 2016, 01:04 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 авг 2014, 18:08
Сообщений: 74
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
Утверждение о непрерывности в том виде, что я его привёл - чушь, согласен.
Сопряжённое к [math]X[/math] пространство [math]X^{*}[/math] - совокупность всех линейных функционалов, определённых на линейном нормированном пространстве [math]X[/math] (Люстерник, Соболев "Элементы Функ. ан."). В книге Колмогорова и Фомина даётся определение "совокупности всех непрерывных линейных функционалов". Да, про определение из КФ я не знал, поэтому и возник вопрос.
Что касается примера не непрерывного линейного функционала на линейном нормированном пространстве:
Рассмотрим пространство [math]C^1[0,1][/math] с нормой [math]\|x\|=\sup\limits_{t\in[0,1]}|x(t)|[/math]. Определим линейный функционал [math]f(x)=x^{'}(0)[/math]. Рассмотрим последовательность функций [math]x_n(t)=\frac{1}{n}\sin(nt)[/math], принадлежащих [math]C^1[0,1][/math] и сходящихся к [math]0[/math]. Но [math]f(x_n)=\cos(nt)|_{(t=0)}=1[/math] не сходится к [math]f(0)=0[/math].
Возвращаясь к исходной задаче. Если функционал не является непрерывным, то, как я понимаю, необходимо найти пример последовательности функций такой, что [math]x_n(t)\mapsto x_0(t)[/math] для всех [math]t\in[0,1][/math], но при этом [math]x_n(0)\not\mapsto x_0(0)[/math]. Как так может быть?. Или с другой стороны, линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. Предположив ограниченность, мы получаем, что [math]f(x)=x(0)\equiv0[/math] для любого [math]x\in X[/math], что очевидно не верно. Можно ли так доказать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 29 июн 2016, 01:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gargantua писал(а):
Предположив ограниченность, мы получаем, что f(x)=x(0)≡0 для любого x∈X, что очевидно не верно.

Как то лихо. Я так не умею. Можно доказывать неограниченность, желательно только по определению и без кавалерийских выводов, только кажется, что проще напрямую. Рассмотрите последовательность непрерывных функций равных нулю, за исключением нароста в нуле высоты 1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 29 июн 2016, 11:12 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
18 авг 2014, 18:08
Сообщений: 74
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x_n(t)=\left\{\!\begin{aligned}
& 1-nt, t\in \left[0,\frac{1}{n}\right] \\
& 0, t\in \left(\frac{1}{n},1\right]
\end{aligned}\right.[/math]
. Тогда [math]x_n(t) \mapsto 0[/math]. Но [math]f(x_n)=x_n(0)=1 \not \mapsto 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сопряжённое пространство
СообщениеДобавлено: 29 июн 2016, 11:46 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Gargantua писал(а):
[math]x_n(t)=\left\{\!\begin{aligned}
& 1-nt, t\in \left[0,\frac{1}{n}\right] \\
& 0, t\in \left(\frac{1}{n},1\right]
\end{aligned}\right.[/math]
. Тогда [math]x_n(t) \mapsto 0[/math]. Но [math]f(x_n)=x_n(0)=1 \not \mapsto 0[/math]

И что? (Извините, что вмешиваюсь). Вы бы не могли словами прокомментировать ваши вычисления? Я бы лично делал так. Нашёл бы последовательность ломанных, интеграл от абсолютной величины которых был бы равен единице. Т.е. функции принадлежат единичной сфере в [math]L_1[0,1][/math]. Но ломанные [math]x(t)[/math]строить так, чтобы [math]x(0) \to \infty[/math]. Тогда наш функционал будет неограниченный на единичной сфере. Следовательно. он не непрерывный и не принадлежит сопряжённому пространству.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 15 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сопряжённое

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mafiozy

4

371

16 июн 2019, 21:01

Сопряженное числителя.

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Righbrah

1

225

21 окт 2014, 22:25

Для чего домножаем на сопряжённое?

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

sfanter

4

525

08 фев 2016, 20:48

Сопряженное априорное распределение

в форуме Теория вероятностей

TeorVer

0

310

25 окт 2015, 02:38

Иррациональное уравнение. Умножение на сопряженное

в форуме Алгебра

SERGEYATAKA

9

804

11 окт 2015, 17:32

Пространство

в форуме Геометрия

maksim-maksim

30

691

07 июл 2020, 10:02

Пространство Минковского

в форуме MathCad

stalker2022

3

172

03 ноя 2023, 21:57

Линейное пространство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Nicolay_8

2

507

26 сен 2014, 17:49

Пространство Минковского

в форуме Специальные разделы

Snegovik777

33

1564

05 янв 2017, 03:18

Линейное пространство

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

SnailHelix

4

757

15 дек 2014, 22:38


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 19


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved