Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решения по функциональному анализу
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=4865
Страница 1 из 1

Автор:  endl [ 05 апр 2011, 22:12 ]
Заголовок сообщения:  Решения по функциональному анализу

Ищу человека, который поможет сделать(доказать) несколько простых задачек по функану
Естественно не за бесплатно )

Автор:  endl [ 05 апр 2011, 23:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решения по функциональному анализу

1. Доказать, что для произвольных элементов [math]x, y[/math] линейного пространства [math]X[/math] существует единственный элемент [math]z\in X[/math] такой, что [math]z+y=x. z=x-y[/math] - разница [math]x[/math] и [math]y[/math].
2. Доказать, что для произвольных элементов [math]x, y[/math] некоторого нормированного пространства выполняется неравенство [math]| ||x|| - ||y|| | \leqslant ||x-y||[/math].
3. Доказать, что для произвольных элементов [math]x, y[/math] некоторого нормированного пространства выполняется неравенство [math]| |x| |\leqslant max(||x+y||,||x-y||)[/math]
4. Совпадает ли последовательность [math]x_{n}(t)= \frac{ t^{n+1}}{n+1}-\frac{ t^{n+2}}{n+2}[/math] в пространстве [math]\mathbb{C} _{[0,1]}[/math]
5. Выполняются ли аксиомы нормы в пространстве [math]l^{m}[/math] столбцов [math]x=(x_{k})_{k=1}^{m}, x_{k}\in \mathbb{R} ,[/math] с нормой [math]||x||_{l^{m} }=\sum_{k=1}^{m}{|x_{k} |}[/math]
6. Доказать неравенство для норм: [math]\alpha ||x||_{E^{m} }\leqslant ||x||_{l^{m} }\leqslant \beta ||x||_{E^{m} } .[/math] Здесь [math]||x||_{E^{m} }=[\sum_{k=1}^{m}{x_{k}^{2} }]^{1/2} , x_{k}\in \mathbb{R} .[/math]Указать наилучшие значения положительных величин [math]\alpha , \beta .[/math]
7. Можно ли в линейном пространстве непрерывно-дифференцированных на [math][a, b][/math] функций принять за норму элемента [math]x(t)[/math] выражение: [math]\int_{a}^{b}{|x(t)|dt+\max_{t\in [a,b]}{|x'(t)| }}[/math].
8. Доказать, что произвольная последовательность, которая совпадает в пространстве [math]\mathbb{C} [0,1][/math] , будет сходящейся и в пространстве [math]L^{\sim } _{2}[0,1][/math]

Автор:  Prokop [ 06 апр 2011, 09:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решения по функциональному анализу

1. Это следует из аксиом линейного пространства. Сначала докажите единственность обратного элемента для [math]x[/math]. Тогда к обеим частям уравнения прибавим [math]-y[/math]. Получим [math]z=x-y[/math]. Отсюда следует единственность.

2. Из неравенства треугольника выводим
[math]\|y\| = \|x+(y-x)\| \leqslant \|x\| + \|y-x\|[/math]
Отсюда
[math]\|y\|-\|x\|\leqslant\|y-x\|[/math]
Поменяв местами [math]x[/math] и [math]y[/math] получим аналогичное неравенство
[math]\|x\|-\|y\| \leqslant \|y-x\|[/math]
Из этих двух неравенств следует требуемое неравенство.

3. [math]\|x\| = \frac{1}{2}\|(x-y)+(x+y)\|\leqslant \frac{1}{2}(\|x-y\|+\|x+y\|)\leqslant \max\Bigl\{\|x- y\|,\,\|x+y\|\Bigr\}[/math]

4. Неправильный перевод. Вместо слова "совпадает" надо написать слово "сходится".

Автор:  Prokop [ 06 апр 2011, 10:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решения по функциональному анализу

4. Максимумы функций [math]x_n[/math] достигаются в точке 1. Поэтому
[math]\|x_n\|=\max_{t\in[0,1]}|x_n(t)|=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}[/math]
Отсюда следует сходимость последовательности к нулю.

5. Надо проверить аксиомы нормы (там нет проблем).

6. В качестве подсказки напишу ответ задачи: [math]\alpha=1,~\beta=\sqrt{m}[/math]

7. Да можно (достаточно проверить аксиомы). Более того, эта норма эквивалентна стандартной (хотя, это и не спрашивается в задаче).

8. Доказательство опирается на неравенство
[math]{\left(\int\limits_0^1 |x(t)|^2\,dt\right)\!\!}^{1/2}\leqslant\max_{t\in[0,1]}|x(t)|[/math]

Автор:  Dana1994 [ 09 фев 2018, 11:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решения по функциональному анализу

Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости,
если определить расстояние между точками M(x1, y1) и N(x2, y2)
формулой: [math]\rho (M,N)[/math]={|x1-x2|,|y1-y2|}

Автор:  Tantan [ 09 фев 2018, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решения по функциональному анализу

Dana1994 писал(а):
Образует ли метрическое пространство множество точек плоскости,
если определить расстояние между точками M(x1, y1) и N(x2, y2)
формулой: [math]\rho (M,N)[/math]={|x1-x2|,|y1-y2|}

Норма(расстояние) это ВСЕГДА число, а у Вас [math]\rho (M,N)[/math]={|x1-x2|,|y1-y2|} - не число,а упорядоченная двойка чисел! Если [math]\rho (M,N)[/math]=min{|x1-x2|,|y1-y2|} - это уже число!

Автор:  sergebsl [ 09 фев 2018, 13:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решения по функциональному анализу

endl писал(а):
Ищу человека, который поможет сделать(доказать) несколько простых задачек по функану
Естественно не за бесплатно )



А Вы сдержали своё слово?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/