Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Hans Fuller |
|
||
Предлагаю вам задачу по топологии, которая ориентирована на игру с терминами и, при этом, довольно важна. Пусть [math]X[/math] - компактное топологическое пространство, [math]Y[/math] - банахово пространство, [math]\varphi[/math] - гомеоморфизм [math]X[/math] на себя. Пусть, кроме того, [math]A[/math] - оператор в пространстве непрерывных отображений из [math]X[/math] в [math]Y[/math], который задается, как [math]Af=f \circ \varphi[/math] и [math]||f|| = \mathop {\sup }\limits_{x \in X} ||f(x)||[/math] Необходимо: а) Доказать, что [math]A[/math] линейный и ограниченный б) Найти норму [math]||A||[/math] Обыкновенно такие доказательства приходится проводить для линейных\банаховых пространств. Однако, не вполне ясно, как в этом случае обращаться с компактом. |
|||
Вернуться к началу | |||
wrobel |
|
||
банальный учебный вопрос
|
|||
Вернуться к началу | |||
Hans Fuller |
|
|
wrobel, по-моему, вполне очевидно, что она учебная. Буду благодарен, если наметаете ход доказательства - интересно обсудить некоторые нюансы
|
||
Вернуться к началу | ||
wrobel |
|
||
компактность нужна для того чтоб sup был меньше бесконеччности, этот sup в силу компактности достигается.
даже предположение о гомеоморфности [math]\varphi[/math] лишнее, пусть [math]\varphi[/math] -- просто непрерывное отображение, тогда [math]\varphi(X)[/math] -- компакт, очевидно [math]\max_{x\in X}\|f(\varphi(x))\|_Y\le \max_{x\in X}\|f(x)\|_Y[/math] равенство достигается, если взять [math]f=const[/math] так, что [math]\|A\|=1[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали: Hans Fuller |
|||
searcher |
|
||
Hans Fuller писал(а): Необходимо:а) Доказать, что [math]A[/math]линейный Этот момент можно поподробней? |
|||
Вернуться к началу | |||
Hans Fuller |
|
||
wrobel, спасибо большое. Ваш комментарий ясен. Сверх него, хотелось бы услышать, почему [math]A[/math] обязан быть линейным оператором, если исходное пространство компактное.
searcher, очевидно, оператор A, действующий из Х в Y линеен, если [math]A(a{x_1} + b{x_2}) = aA{x_1} + bA{x_2}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
wrobel |
|
||
Hans Fuller писал(а): почему A обязан быть линейным оператором, если исходное пространство компактное. оператор A линеен по определению, компактность ни при чем [math]A(\alpha f+\beta g):=\alpha f\circ\varphi+\beta g\circ\varphi[/math] [math]\alpha,\beta[/math] -- из поля скаляров |
|||
Вернуться к началу | |||
Hans Fuller |
|
||
wrobel, насколько мне известно, композиция отображений линейна per definitio только для банаховых [math]X, Y[/math]. Потому я спрашиваю о справедливости этого определения для исходного компактного пространства. Исправьте меня, если я ошибаюсь
|
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |