Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 16:34 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 фев 2016, 03:17
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
4 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте

Предлагаю вам задачу по топологии, которая ориентирована на игру с терминами и, при этом, довольно важна. Пусть [math]X[/math] - компактное топологическое пространство, [math]Y[/math] - банахово пространство, [math]\varphi[/math] - гомеоморфизм [math]X[/math] на себя. Пусть, кроме того, [math]A[/math] - оператор в пространстве непрерывных отображений из [math]X[/math] в [math]Y[/math], который задается, как

[math]Af=f \circ \varphi[/math] и [math]||f|| = \mathop {\sup }\limits_{x \in X} ||f(x)||[/math]
Необходимо:
а) Доказать, что [math]A[/math] линейный и ограниченный
б) Найти норму [math]||A||[/math]

Обыкновенно такие доказательства приходится проводить для линейных\банаховых пространств. Однако, не вполне ясно, как в этом случае обращаться с компактом.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 16:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
банальный учебный вопрос

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 16:49 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 фев 2016, 03:17
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
4 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel, по-моему, вполне очевидно, что она учебная. Буду благодарен, если наметаете ход доказательства - интересно обсудить некоторые нюансы

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 17:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
компактность нужна для того чтоб sup был меньше бесконеччности, этот sup в силу компактности достигается.
даже предположение о гомеоморфности [math]\varphi[/math] лишнее, пусть [math]\varphi[/math] -- просто непрерывное отображение, тогда [math]\varphi(X)[/math] -- компакт, очевидно [math]\max_{x\in X}\|f(\varphi(x))\|_Y\le \max_{x\in X}\|f(x)\|_Y[/math]
равенство достигается, если взять [math]f=const[/math] так, что [math]\|A\|=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю wrobel "Спасибо" сказали:
Hans Fuller
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 17:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hans Fuller писал(а):
Необходимо:а) Доказать, что [math]A[/math]линейный

Этот момент можно поподробней?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 17:20 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 фев 2016, 03:17
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
4 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel, спасибо большое. Ваш комментарий ясен. Сверх него, хотелось бы услышать, почему [math]A[/math] обязан быть линейным оператором, если исходное пространство компактное.

searcher, очевидно, оператор A, действующий из Х в Y линеен, если [math]A(a{x_1} + b{x_2}) = aA{x_1} + bA{x_2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 17:27 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 сен 2015, 13:47
Сообщений: 1058
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
134 раз в 132 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Hans Fuller писал(а):
почему A
обязан быть линейным оператором, если исходное пространство компактное.

оператор A линеен по определению, компактность ни при чем
[math]A(\alpha f+\beta g):=\alpha f\circ\varphi+\beta g\circ\varphi[/math]

[math]\alpha,\beta[/math] -- из поля скаляров

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма и линейность композиции отображений
СообщениеДобавлено: 03 май 2016, 17:39 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 фев 2016, 03:17
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
4 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
wrobel, насколько мне известно, композиция отображений линейна per definitio только для банаховых [math]X, Y[/math]. Потому я спрашиваю о справедливости этого определения для исходного компактного пространства. Исправьте меня, если я ошибаюсь

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найдите матрицу C композиции отображений T∘S

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

eliotvaliev

2

326

07 апр 2019, 15:20

Найдите образы векторов v и u при композиции отображений T1

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

eliotvaliev

0

176

07 апр 2019, 17:15

Линейность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Lucky721

3

500

24 дек 2014, 17:36

Проверить линейность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Miracle

1

476

10 июн 2018, 20:31

Линейность и непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Raiden

2

382

18 янв 2018, 23:12

Проверка на линейность

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Sergey97S

1

179

22 ноя 2021, 16:56

Линейность и непрерывность

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

111111

1

418

21 июл 2014, 22:46

Проверка на линейность

в форуме Алгебра

Sergey97S

1

131

18 ноя 2021, 14:13

Доказать линейность пространства Lp

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

1

963

30 май 2014, 13:41

Выяснить линейность функции

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Vaynax444

7

533

20 июн 2019, 20:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved