Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 12:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2015, 12:23
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть пр-во функций, опеределенных на [a,b] и принимающих лишь конечное число значений. Метрика задана как максимальное расстояние между функциями.
Доказать не сепарабельность и не полноту.

Моя идея заключается в том, чтобы выделить подпространство функций, принимающих лишь конечное число рациональных значений. Это подпространство будет счетным и всюду плотным в данном пространстве и следовательно данное пространство сепарабельно.
А вот по поводу полноты я заглох... понятно что надо доказывать через фундаментальные последовательности, но как это правильно сделать идей ноль.

Подскажите, пожалуйста, правильный ли у меня ход мыслей по поводу сепарабельности и как правильно доказать полноту.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 13:08 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По поводу вашего доказательства сепарабельности. Даже множество функций, принимающих значение или 0 или 1, как легко видеть, имеет мощность [math]2^{|\mathbb R|}[/math].
По полноте. Найдите фундаментальную последовательность функций из пространства, которая не сходится. Для этого используйте "лесенку", постепенно уменьшая длину ступени.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 13:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2015, 12:23
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хм... Значит нам надо идти от противного? Или лучше как то по другому поступить?
По поводу полноты, разве такая последовательность будет принадлежать нашему пространству? Ведь тогда получается, что функции в последовательности имеют счетное кол-во значений, а у нас лишь конечное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 14:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slava1017 писал(а):
По поводу полноты, разве такая последовательность будет принадлежать нашему пространству? Ведь тогда получается, что функции в последовательности имеют счетное кол-во значений, а у нас лишь конечное.

Не прикидывайте на глаз. Распишите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 14:32 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slava1017 писал(а):
Хм... Значит нам надо идти от противного? Или лучше как то по другому поступить?

Используйте тот факт, что если в метрическом пространстве присутствует несчётное число элементов, попарное расстояние между которыми больше некоторой положительной константы, то пространство не является сепарабельным.
А само такое множество уже есть :wink:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 16:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
06 сен 2015, 12:23
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По сепарабельности: большое спасибо за совет не думал что можно сделать все так просто :good: вот только боюсь что преподавателю такой способ решения не понравится, не знаете где можно найти доказательство данного свойства? Чтобы я мог если что подкрепить этот способ решения доказательством.

по полноте:
возьмем последовательность функций вида:
[math]\varphi_{n}(x) = a_{i}, a_{i} \leqslant x \leqslant a_{i+1}, a_{i} = a + \frac{ b - a }{ n }*i, i = 1, 2, . . . , n[/math]
фундаментальность и сходимость к [math]\varphi (x)=x[/math] легко доказываются и да, тогда получается что наше пространство не полное, но разве в предельном смысле данная последовательность принадлежит нашему пространству?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать не сепарабельность пространства
СообщениеДобавлено: 06 сен 2015, 21:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Slava1017 писал(а):
но разве в предельном смысле данная последовательность принадлежит нашему пространству?

А что вас смущает? Что, по вашему, значит принадлежность в предельном смысле?
Тут все просто. Для любого [math]n[/math] [math]\varphi_n[/math] принадлежит нашему пространству, а то что в пределе не принадлежит - так это и значит, что пространство неполное.
Небольшая поправка - в определении [math]\varphi_n[/math] [math]i[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]n-1[/math].
Slava1017 писал(а):
где можно найти доказательство данного свойства?

Так оно само по себе весьма очевидное. Но можно, используя эту идею, доказать напрямую.
Вот смотрите: у нас есть несчетное множество, все попарные расстояния между элементами которого равны [math]1[/math]. Построим шары с центрами во всех точках этого множества и радиусом, равным [math]\frac13[/math]. Поскольку [math]\frac 13 +\frac13<1[/math], то все наши шары попарно не пересекаются. Теперь, если у нас есть всюду плотное множество, то в каждом шаре должна лежать точка из этого множества, а поскольку шаров несчетное количество...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Обосновать сепарабельность пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

SirEagle

1

377

14 июн 2022, 16:08

Сепарабельность пространства комплексных чисел

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

neurocore

1

303

02 ноя 2017, 13:01

Сепарабельность пространства компактных операторов в l2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Bend

1

423

29 дек 2016, 15:55

Доказать линейность пространства Lp

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

denis_fpmi

1

963

30 май 2014, 13:41

Доказать полноту пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alena2712

1

441

19 ноя 2015, 22:31

Сепарабельность l2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

David007

1

1186

14 янв 2015, 19:38

Пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Knyazhskiy

0

276

26 янв 2016, 18:00

Преобразование пространства

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

KonstantinR

0

320

08 сен 2014, 04:07

Ортогональные пространства

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Avrora

0

330

18 ноя 2014, 18:53

Векторные пространства

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

md_house

4

631

07 мар 2018, 15:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved