Доказать не сепарабельность пространства

Есть пр-во функций, опеределенных на [a,b] и принимающих лишь конечное число значений. Метрика задана как максимальное расстояние между функциями.
Доказать не сепарабельность и не полноту.

Моя идея заключается в том, чтобы выделить подпространство функций, принимающих лишь конечное число рациональных значений. Это подпространство будет счетным и всюду плотным в данном пространстве и следовательно данное пространство сепарабельно.
А вот по поводу полноты я заглох... понятно что надо доказывать через фундаментальные последовательности, но как это правильно сделать идей ноль.

Подскажите, пожалуйста, правильный ли у меня ход мыслей по поводу сепарабельности и как правильно доказать полноту.

По поводу вашего доказательства сепарабельности. Даже множество функций, принимающих значение или 0 или 1, как легко видеть, имеет мощность [math]2^{|\mathbb R|}[/math].
По полноте. Найдите фундаментальную последовательность функций из пространства, которая не сходится. Для этого используйте "лесенку", постепенно уменьшая длину ступени.

Хм... Значит нам надо идти от противного? Или лучше как то по другому поступить?
По поводу полноты, разве такая последовательность будет принадлежать нашему пространству? Ведь тогда получается, что функции в последовательности имеют счетное кол-во значений, а у нас лишь конечное.

Не прикидывайте на глаз. Распишите.

Используйте тот факт, что если в метрическом пространстве присутствует несчётное число элементов, попарное расстояние между которыми больше некоторой положительной константы, то пространство не является сепарабельным.
А само такое множество уже есть

По сепарабельности: большое спасибо за совет не думал что можно сделать все так просто вот только боюсь что преподавателю такой способ решения не понравится, не знаете где можно найти доказательство данного свойства? Чтобы я мог если что подкрепить этот способ решения доказательством.

по полноте:
возьмем последовательность функций вида:
[math]\varphi_{n}(x) = a_{i}, a_{i} \leqslant x \leqslant a_{i+1}, a_{i} = a + \frac{ b - a }{ n }*i, i = 1, 2, . . . , n[/math]
фундаментальность и сходимость к [math]\varphi (x)=x[/math] легко доказываются и да, тогда получается что наше пространство не полное, но разве в предельном смысле данная последовательность принадлежит нашему пространству?

А что вас смущает? Что, по вашему, значит принадлежность в предельном смысле?
Тут все просто. Для любого [math]n[/math] [math]\varphi_n[/math] принадлежит нашему пространству, а то что в пределе не принадлежит - так это и значит, что пространство неполное.
Небольшая поправка - в определении [math]\varphi_n[/math] [math]i[/math] меняется от [math]0[/math] до [math]n-1[/math].

Так оно само по себе весьма очевидное. Но можно, используя эту идею, доказать напрямую.
Вот смотрите: у нас есть несчетное множество, все попарные расстояния между элементами которого равны [math]1[/math]. Построим шары с центрами во всех точках этого множества и радиусом, равным [math]\frac13[/math]. Поскольку [math]\frac 13 +\frac13<1[/math], то все наши шары попарно не пересекаются. Теперь, если у нас есть всюду плотное множество, то в каждом шаре должна лежать точка из этого множества, а поскольку шаров несчетное количество...