Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 27 июн 2015, 12:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2015, 21:05
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пусть [math]{f \colon X \to Y}[/math], [math]\mathcal{U}[/math] - система подмножеств [math]Y[/math]. Показать, что [math]\mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U}))=f^{-1}(\mathcal{R}(\mathcal{U}))[/math].

Я пытаюсь показать это следующим образом: рассматриваю систему [math]2^{Y} \supset \mathcal{J}=\left\{ B \subset Y \,\colon f^{-1}(B) \in \mathcal{R}(f^{-1}(U))\right\}[/math]
Для этой системы выполняется:
1) [math]\mathcal{U} \subset \mathcal{J}=( \forall u\in\mathcal{U} \,\colon f^{-1}(u) \in f^{-1}(\mathcal{U}) \subset \mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U})))[/math]
2) Является кольцом, так замкнута относительно операций пересечения и симметрической разности

Из 1) и 2) вытекает, что [math]\mathcal{R}( \mathcal{U} ) \subset \mathcal{J}[/math], берём прообраз, получаем [math]f^{-1}(\mathcal{R}( \mathcal{U}) ) \subset f^{-1}(\mathcal{J})[/math]. Далее, как я понимаю, должно следовать [math]f^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U}))[/math], но не могу понять как это строго показать.

И как показать включение [math]\mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U})) \subset f^{-1}(\mathcal{R}(\mathcal{U}))[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 27 июн 2015, 13:31 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 июн 2015, 19:58
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
41 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
winmord писал(а):
Пусть [math]{f \colon X \to Y}, \; \mathcal{U} \; -[/math] система подмножеств [math]Y[/math].

Показать, что [math]\mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U}))=f^{-1}(\mathcal{R}(\mathcal{U}))[/math].
Что конкретно в данном контексте означает [math]\mathcal{R}(\mathcal{U})[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 11:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2015, 21:05
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
agua писал(а):
winmord писал(а):
Пусть [math]{f \colon X \to Y}, \; \mathcal{U} \; -[/math] система подмножеств [math]Y[/math].

Показать, что [math]\mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U}))=f^{-1}(\mathcal{R}(\mathcal{U}))[/math].
Что конкретно в данном контексте означает [math]\mathcal{R}(\mathcal{U})[/math]?


Наименьшее кольцо, порождённое данной системой множеств.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 12:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2015, 21:05
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Включение "[math]\supset[/math]" предполагаю, что нужно показать так: [math]\mathcal{U} \subset \mathcal{R} ( \mathcal{U})[/math], как наименьшее кольцо, порождённое этой системой, далее [math]f^{-1}(\mathcal{U}) \subset f^{-1}(\mathcal{R} ( \mathcal{U}))[/math]. [math]f^{-1}(\mathcal{U}) \subset \mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U}))[/math] (опять же как наименьшее кольцо, порождённое этой системой) и следовательно [math]f^{-1}(\mathcal{R}(\mathcal{U})) \supset \mathcal{R}(f^{-1}( \mathcal{U}))[/math]. Верны ли такие рассуждения?

Нет, уже понял, что неверны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 16:01 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 июн 2015, 19:58
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
41 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если есть возможность, приведите ссылку на источник, на который вы опираетесь при решении задач, чтобы были известны точные формулировки всех определений и списки лемм и теорем, которые могут использоваться.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 28 июн 2015, 23:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2015, 21:05
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
agua писал(а):
Если есть возможность, приведите ссылку на источник, на который вы опираетесь при решении задач, чтобы были известны точные формулировки всех определений и списки лемм и теорем, которые могут использоваться.


А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа" 1976г.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Кольцо проообраза
СообщениеДобавлено: 29 июн 2015, 10:28 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 июн 2015, 19:58
Сообщений: 142
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
41 раз в 33 сообщениях
Очков репутации: 12

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
winmord писал(а):
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа" 1976 г.
Хороший источник :)

Возможно, имеет смысл напрямую использовать свойства прообразов объединения и пересечения множеств и определение минимального кольца как пересечения всех колец совокупности, содержащих систему множеств (а также, возможно, тот факт, что всякое кольцо является полукольцом). Я бы начал с рассмотрения конкретной функции (например, [math]y=x^2[/math]) и убедился, что в данном случае минимальное кольцо системы прообразов совпадает с системой прообразов минимального кольца.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю agua "Спасибо" сказали:
winmord
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Уравнение образа и проообраза прямой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kicultanya

2

296

07 авг 2018, 17:32

Кольцо многочленов

в форуме Алгебра

Morody

3

342

02 фев 2021, 21:19

Кольцо многочленов

в форуме Алгебра

Morody

10

315

03 фев 2021, 12:55

Кольцо на проволоке

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

wrobel

38

2366

05 фев 2016, 10:29

Кольцо множеств

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

Vladimir_96

4

519

24 сен 2017, 17:22

Упорядоченное кольцо

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

darmenden

0

303

29 май 2014, 03:20

Фактор кольцо

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

LeF

7

364

07 ноя 2021, 21:05

Кольцо из открытых множеств

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Gargantua

3

490

23 фев 2018, 01:20

Задача про кольцо с бусами

в форуме Школьная физика

Feldhamster

1

223

15 фев 2022, 18:44

Является ли кольцо полем

в форуме Теория чисел

Vaynax444

8

371

26 май 2019, 12:02


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved