Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Показать, что отображение не принимает наименьшего значения http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=4186 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | AndyTrust [ 25 фев 2011, 14:44 ] |
Заголовок сообщения: | Показать, что отображение не принимает наименьшего значения |
Добрый день, уважаемые гуру функана. Требуется ваша помощь с не больших и несложным (я надеюсь ) заданием. Пусть дано отображение [math]f\colon M\to\mathbb{R}[/math], где [math]M=\{x(t)\in C[0,1]\colon x(0)=0,\,x(1)=1,\,\|x\|\leqslant1\}[/math] и [math]f(x(t))=\int\limits_{0}^{1}x^2(t)\,dt[/math] Покажите, что отображение [math]f[/math] не принимает на множестве [math]M[/math] наименьшего значения. Не противоречит ли это теореме Вейерштрасса? Заранее спасибо! |
Автор: | Prokop [ 25 фев 2011, 15:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения |
Множество [math]M[/math] не является компактом (см. теорему Арцела-Асколи). |
Автор: | AndyTrust [ 25 фев 2011, 15:22 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения |
Но это доказывает только, что нет противоречия теореме Вейерштрасса. Правильно понимаю? |
Автор: | Prokop [ 25 фев 2011, 15:30 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения |
Да, конечно. По поводу минимума: можно воспользоваться полнотой пространства [math]L_2[/math]. |
Автор: | AndyTrust [ 25 фев 2011, 15:33 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения |
Проверьте - корректны ли мои рассуждения. Предположим, что [math]f[/math] на [math]M[/math] достигает своего минимального значения [math]m[/math].Так как [math]x^2(t)\geqslant0[/math] и [math]x(t)\ne0[/math], то [math]m=\int\limits_{0}^{1}x_0^2(t)\,dt>0[/math], где [math]x_0(t)[/math] - элемент, на котором [math]f[/math] принимает наименьшее значение. С другой стороны, взяв [math]x_n(t)=t^n\in M[/math], получим [math]f(x_n)=\frac{1}{2n+1}\to0[/math] при [math]n\to\infty[/math]. Получили противоречие. Этот пример не противоречит теореме Вейерштрасса, так как [math]M[/math] не является компактным множеством. |
Автор: | Prokop [ 25 фев 2011, 15:41 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения |
Здесь надо только показать, что если непрерывная неотрицательная функция на отрезке отлична от нуля, то интеграл от неё строго больше нуля. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |