Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=4186
Страница 1 из 1

Автор:  AndyTrust [ 25 фев 2011, 14:44 ]
Заголовок сообщения:  Показать, что отображение не принимает наименьшего значения

Добрый день, уважаемые гуру функана. Требуется ваша помощь с не больших и несложным (я надеюсь :) ) заданием.

Пусть дано отображение [math]f\colon M\to\mathbb{R}[/math], где

[math]M=\{x(t)\in C[0,1]\colon x(0)=0,\,x(1)=1,\,\|x\|\leqslant1\}[/math] и [math]f(x(t))=\int\limits_{0}^{1}x^2(t)\,dt[/math]


Покажите, что отображение [math]f[/math] не принимает на множестве [math]M[/math] наименьшего значения. Не противоречит ли это теореме Вейерштрасса?

Заранее спасибо!

Автор:  Prokop [ 25 фев 2011, 15:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения

Множество [math]M[/math] не является компактом (см. теорему Арцела-Асколи).

Автор:  AndyTrust [ 25 фев 2011, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения

Но это доказывает только, что нет противоречия теореме Вейерштрасса.
Правильно понимаю?

Автор:  Prokop [ 25 фев 2011, 15:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения

Да, конечно.
По поводу минимума: можно воспользоваться полнотой пространства [math]L_2[/math].

Автор:  AndyTrust [ 25 фев 2011, 15:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения

Проверьте - корректны ли мои рассуждения.

Предположим, что [math]f[/math] на [math]M[/math] достигает своего минимального значения [math]m[/math].Так как [math]x^2(t)\geqslant0[/math] и [math]x(t)\ne0[/math], то [math]m=\int\limits_{0}^{1}x_0^2(t)\,dt>0[/math], где [math]x_0(t)[/math] - элемент, на котором [math]f[/math] принимает наименьшее значение.
С другой стороны, взяв [math]x_n(t)=t^n\in M[/math], получим [math]f(x_n)=\frac{1}{2n+1}\to0[/math] при [math]n\to\infty[/math]. Получили противоречие.

Этот пример не противоречит теореме Вейерштрасса, так как [math]M[/math] не является компактным множеством.

Автор:  Prokop [ 25 фев 2011, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения

Здесь надо только показать, что если непрерывная неотрицательная функция на отрезке отлична от нуля, то интеграл от неё строго больше нуля.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/