  Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
MathHelpPlanet.com
|
|
Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
MathHelpPlanet.com
|
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
  |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| AndyTrust |
|
||
09 фев 2011, 12:42 Сообщений: 20 Откуда: Москва Cпасибо сказано: 8 Спасибо получено: 2 раз в 1 сообщении Очков репутации: 52   
|
Добрый день, уважаемые гуру функана. Требуется ваша помощь с не больших и несложным (я надеюсь  ) заданием.Пусть дано отображение [math]f\colon M\to\mathbb{R}[/math], где [math]M=\{x(t)\in C[0,1]\colon x(0)=0,\,x(1)=1,\,\|x\|\leqslant1\}[/math] и [math]f(x(t))=\int\limits_{0}^{1}x^2(t)\,dt[/math] Покажите, что отображение [math]f[/math] не принимает на множестве [math]M[/math] наименьшего значения. Не противоречит ли это теореме Вейерштрасса? Заранее спасибо! |
||
| Вернуться к началу |   |
||
 |
|||
| Prokop |
|
|||
14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
|
Множество [math]M[/math] не является компактом (см. теорему Арцела-Асколи).
|
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| AndyTrust |
|
||
09 фев 2011, 12:42 Сообщений: 20 Откуда: Москва Cпасибо сказано: 8 Спасибо получено: 2 раз в 1 сообщении Очков репутации: 52
|
Но это доказывает только, что нет противоречия теореме Вейерштрасса.
Правильно понимаю? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Prokop |
|
|||
14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
|
Да, конечно.
По поводу минимума: можно воспользоваться полнотой пространства [math]L_2[/math]. |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| AndyTrust |
|
||
09 фев 2011, 12:42 Сообщений: 20 Откуда: Москва Cпасибо сказано: 8 Спасибо получено: 2 раз в 1 сообщении Очков репутации: 52
|
Проверьте - корректны ли мои рассуждения.
Предположим, что [math]f[/math] на [math]M[/math] достигает своего минимального значения [math]m[/math].Так как [math]x^2(t)\geqslant0[/math] и [math]x(t)\ne0[/math], то [math]m=\int\limits_{0}^{1}x_0^2(t)\,dt>0[/math], где [math]x_0(t)[/math] - элемент, на котором [math]f[/math] принимает наименьшее значение. С другой стороны, взяв [math]x_n(t)=t^n\in M[/math], получим [math]f(x_n)=\frac{1}{2n+1}\to0[/math] при [math]n\to\infty[/math]. Получили противоречие. Этот пример не противоречит теореме Вейерштрасса, так как [math]M[/math] не является компактным множеством. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Prokop |
|
|||
14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
|
Здесь надо только показать, что если непрерывная неотрицательная функция на отрезке отлична от нуля, то интеграл от неё строго больше нуля.
|
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
|
|
[ Сообщений: 6 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
|
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
