Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
СообщениеДобавлено: 25 фев 2011, 14:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 фев 2011, 12:42
Сообщений: 20
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 52

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, уважаемые гуру функана. Требуется ваша помощь с не больших и несложным (я надеюсь :) ) заданием.

Пусть дано отображение [math]f\colon M\to\mathbb{R}[/math], где

[math]M=\{x(t)\in C[0,1]\colon x(0)=0,\,x(1)=1,\,\|x\|\leqslant1\}[/math] и [math]f(x(t))=\int\limits_{0}^{1}x^2(t)\,dt[/math]


Покажите, что отображение [math]f[/math] не принимает на множестве [math]M[/math] наименьшего значения. Не противоречит ли это теореме Вейерштрасса?

Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
СообщениеДобавлено: 25 фев 2011, 15:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Множество [math]M[/math] не является компактом (см. теорему Арцела-Асколи).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
СообщениеДобавлено: 25 фев 2011, 15:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 фев 2011, 12:42
Сообщений: 20
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 52

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но это доказывает только, что нет противоречия теореме Вейерштрасса.
Правильно понимаю?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
СообщениеДобавлено: 25 фев 2011, 15:30 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, конечно.
По поводу минимума: можно воспользоваться полнотой пространства [math]L_2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
СообщениеДобавлено: 25 фев 2011, 15:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
09 фев 2011, 12:42
Сообщений: 20
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 8
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 52

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проверьте - корректны ли мои рассуждения.

Предположим, что [math]f[/math] на [math]M[/math] достигает своего минимального значения [math]m[/math].Так как [math]x^2(t)\geqslant0[/math] и [math]x(t)\ne0[/math], то [math]m=\int\limits_{0}^{1}x_0^2(t)\,dt>0[/math], где [math]x_0(t)[/math] - элемент, на котором [math]f[/math] принимает наименьшее значение.
С другой стороны, взяв [math]x_n(t)=t^n\in M[/math], получим [math]f(x_n)=\frac{1}{2n+1}\to0[/math] при [math]n\to\infty[/math]. Получили противоречие.

Этот пример не противоречит теореме Вейерштрасса, так как [math]M[/math] не является компактным множеством.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Показать, что отображение не принимает наименьшего значения
СообщениеДобавлено: 25 фев 2011, 15:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь надо только показать, что если непрерывная неотрицательная функция на отрезке отлична от нуля, то интеграл от неё строго больше нуля.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как показать, что отображение является линейным оператором?

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

crazymadman18

13

519

06 апр 2017, 14:46

Принцип наименьшего числа

в форуме Теория чисел

fathersson

4

1309

01 сен 2013, 00:34

Принцип наименьшего числа

в форуме Дискуссионные математические проблемы

UBIica_KoroLey_2004

1

105

24 окт 2019, 00:07

Найдите неоднородное ЛДУ наименьшего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

tanyhaftv

12

184

16 май 2018, 08:28

Найдите однородное ЛДУ наименьшего порядка

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

tanyhaftv

6

214

01 сен 2018, 08:41

Сколько цифр в десятичной записи наименьшего из них?

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Xenia1996

2

184

05 авг 2017, 16:25

Нахождение наименьшего целого числа в области значений

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Fsq

3

359

21 окт 2012, 15:37

Задача на нахождение наименьшего. Функции неск. переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vik_toria14

7

452

16 май 2014, 19:44

Найти высоту косинуса наименьшего объема описанного около ша

в форуме Дифференциальное исчисление

apple-wolf

1

91

19 мар 2019, 14:15

Докажите что многочлен не принимает отрицательных значений

в форуме Алгебра

Laplacian

6

304

18 фев 2017, 18:48


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved