Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Проверка метрики на l1
СообщениеДобавлено: 04 апр 2015, 14:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 апр 2015, 11:52
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
День добрый!
Пытаюсь разобраться
Дано - метрика [math]p_1(x,y)[/math] на множестве [math]l_1[/math]
[math]\left\begin{gathered}x = ({x_1},{x_2},...,{x_k},...) \hfill \\ y = ({y_1},{y_2},...,{y_k},...) \hfill \\{p_1}(x,y) = \sum\limits_{k = 1}^\infty{\frac{{\left|{{x_k}-{y_k}}\right|}}{{{k^2}- ak + b}}}\hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \right[/math]
[math]a=12, b=38[/math]
Нужно проверить - является ли [math]p_1(x,y)[/math] метрикой на данном множестве и сравнить ее со стандартной метрикой на существующем пространстве.

для проверки является ли [math]p_1(x,y)[/math] метрикой данного множества нужно выполнить проверку на удовлетворение аксиомам (неотрицательность, симметрия и аксиома треугольника). По поводу неотрицательности - в знаменателе параболическая функция, которая в моем конкретном случае всегда положительна (в общем виде, когда [math]a*k^2+b*k+c[/math] может принимать значения меньше нуля при конкретных [math]a,b,c[/math] аксиома неотрицательности может быть недействительной).
По поводу аксиомы треугольника:
[math]\left\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {{x_k} - {y_k}} \right|}}{{{k^2} - 12k + 38}}} \leqslant \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {{x_k} - {z_k}} \right|}}{{{k^2} - 12k + 38}}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left| {{z_k} - {y_k}} \right|}}{{{k^2} - 12k + 38}}} \right[/math]
Можно ли обе части неравенства умножить на [math]\left\sum\limits_{k = 1}^\infty {{k^2} - 12k + 38}\right[/math] и тем самым перейти к неравенству
[math]\left\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{x_k} - {y_k}} \right|} \leqslant \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{x_k} - {z_k}} \right|} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{z_k} - {y_k}} \right|} \right[/math], которое является верным?

Для сравнения метрик [math]p_1(x,y), p_2(x,y)[/math] нужно определить что следует из сходимости по этим метрикам (т.е. если из сходимости по [math]p_1[/math] следует сходимость по [math]p_2[/math], то [math]p_1[/math] не слабее [math]p_2[/math] и т.д. - как это проверить на практике??? дайте какие нибудь конкретные примеры, чтобы разобраться...

ps в моем конкретном случае метрикой [math]l_1[/math] является норма [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left\lvert x_k \right\lvert[/math], которая сходится, т.к. по определению элементами пространства [math]l_1[/math] являются сходящиеся последовательности и в итоге мы имеем сумму, каждый член которой сходится, т.е. и сумма в итоге тоже сходится. А вот как сравнить эту стандартную метрику с заданной - вообще никаких мыслей (((

Заранее спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка метрики на l1
СообщениеДобавлено: 05 апр 2015, 09:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, так умножать нельзя. Вы, лучше, убедитесь в том, что нужные неравенства выполнены для каждой координаты (при каждом [math]k[/math]). Потом сложите неравенства.
Данная метрика порождается нормой, которую обозначим
[math]\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] = \sum\limits_{k = 1}^\infty{{p_k}\left|{{x_k}}\right|}[/math],
где [math]{p_k}={\left({{k^2}- 12k + 38}\right)^{- 1}}[/math] - "вес".
Стандартная норма (метрика) [math]\left\| x \right\|[/math] в [math]l_1[/math] сильнее "весовой" нормы (метрики) [math]\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right][/math], т.к. из неравенства
[math]\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] \leqslant \frac{1}{2}\left\| x \right\|[/math]
вытекает, что из сходимости в стандартной метрике следует сходимость в "весовой" метрике (в другую сторону утверждение неверно).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка метрики на l1
СообщениеДобавлено: 05 апр 2015, 21:17 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 апр 2015, 11:52
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за помощь.
1.Только не совсем понятно, почему нельзя умножать (это я про неравенство). Ведь при любом [math]k[/math] [math]k^2-12k+38>0[/math], а если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство (одно из свойств неравенств)... т.е. по идее можно взять верное неравенство [math]\left\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{x_k} - {y_k}} \right|} \leqslant \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{x_k} - {z_k}} \right|} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {{z_k} - {y_k}} \right|} \right[/math] и умножить обе части на положительное число [math]{\left({{k^2}- 12k + 38}\right)^{- 1}[/math]... (для доказательства этого процесса можно рассмотреть неравенства для любого [math]k[/math],убедиться в их верности, а потом их сложить )))

2.Исходя из описанных выше логических рассуждений (про сравнение метрик) следует ли, что если бы [math]{p_k}={\left({{k^2}- 12k + 38}\right)}[/math] то из неравенства [math]\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] \geqslant 2\left\| x \right\|[/math] следует, что из сходимости в "весовой" метрике вытекает сходимость в стандартной метрике?

И где можно взять информацию (желательно с примерами) про "взаимоотношения" метрик разных пространств?

Заранее спасибо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка метрики на l1
СообщениеДобавлено: 06 апр 2015, 12:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 апр 2015, 11:52
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Продолжаем разговор ))
по поводу 2.: уважаемый Prokop откуда взялось приведенное Вами неравенство [math]\left[\kern-0.15em\left[ x \right]\kern-0.15em\right] \leqslant \frac{1}{2}\left\| x \right\|[/math]?
Вот что я нашел в пространстве инета:
Теорема Рисса: В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны

Из википедии:
Цитата:
Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Следует ли, что если в конечномерном пространстве есть метрика, то значит в нем автоматически введено скалярное произведение его элементов?

Здесь пример 1.5:
Изображение
т.е. любое пространство [math]l_p[/math] является векторным и если у него есть метрика, то оно становится конечномерным, а следовательно, любые его метрики эквиваленты???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Проверка метрики на l1
СообщениеДобавлено: 06 апр 2015, 21:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Неравенство между нормами следует из оценки
[math]{p_k}={\left({{{\left({k - 6}\right)}^2}+ 2}\right)^{- 1}}\leqslant \frac{1}{2}[/math]
2. В конечномерном пространстве можно ввести скалярное произведение, которое определит норму, эквивалентную исходной.
3. Пространство[math]l_p[/math] не является конечномерным.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Эквивалентные метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Free Dreamer

1

432

20 мар 2013, 01:32

Эквивалентность метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

DucAnh456

0

113

06 окт 2018, 03:23

Определить полноту метрики: есть она или нет?

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Annakerr

1

340

19 янв 2014, 23:28

Неравенство треугольника для энергетической метрики

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

sgaybaryan

3

227

27 окт 2019, 10:46

Эквивалентные метрики, определенные на заданном множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Metrika

3

1599

30 авг 2010, 01:30

Две метрики порождают одну и туже топологию на множестве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

_Sasha_

2

292

27 июн 2018, 15:24

Для метрики найти длины сторон, внутренние углы и площадь

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Aizh

2

596

10 мар 2013, 15:27

Проверка

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Miriada

16

466

25 ноя 2012, 11:14

Проверка

в форуме Интегральное исчисление

ilya0003

5

243

01 дек 2014, 15:13

Проверка

в форуме Ряды

Webgrabber

6

242

24 ноя 2015, 11:52


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved