Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ 1 сообщение ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
zawen |
|
|
Теорема: каждая связная неориентируемая триангулируемая поверхность без края гомеоморфна одной из поверхностей Nk. Док-во: ориентируемость поверхности используется в двух местах, причем оба относятся к операции вырезания из поверхности ленточной окрестности замкнутой кривой (и к обратной операции вклейки) Во-первых, вырезаемая лента может быть гомеоморфна либо цилиндру, либо ленте Мебиуса. В ориентируемом случае возможен только 1 случай, но теперь допускается и 2ой. К трем уже имевшимся операциям (вырезание дырки, заклейка дырки диском, вклейка ручки) добавляется еще вклейка пленки Мебиуса. Во-вторых, если лента гомеоморфна цилиндру, то вклейка цилиндра в поверхность эквивалентна склейке краев двух дисков. Такая склейка может осуществляться двумя способами (причем, если направление обхода «против часовой стрелки» на одной окружности переходит в такое же направление на второй, то получаем неориентируемую поверхность). Выясним, что происходит при такой операции: Рассмотрим поверхность, в которой вырезаны две дырки, а затем края этих дырок склеены с учётом одинаковой ориентации на них. Разрежем поверхность по двум отрезкам, соединяющим края дырок (при этом из поверхности выпадет связный кусок). Вклеим этот кусок назад в поверхность, склеив сперва края дырок по нужному правилу (для этого кусок нужно вывернуть наизнанку). Получим снова поверхность с двумя дырками (край каждой дырки — вновь проведенный разрез) Теперь склеим диаметрально противоположные точки на краях дырок. Такая операция эквивалентна вклейке пленки Мебиуса. Таким образом, вклейка в поверхность цилиндра эквивалентна приклеиванию к ней двух пленок Мебиуса. Итак, мы доказали, что любая поверхность получается из сферы при помощи четырех операций: 1. вырезание дырки 2. заклейка дырки диском 3. вклейка ручки 4. вклейка пленки Мебиуса В результате получим сферу с некоторым количеством дырок, ручек и пленок Мебиуса. Поскольку мы рассматриваем поверхности без края, дырок быть не может. Поскольку поверхность неориентируема, то хотя бы 1 пленка Мебиуса присутствует. Таким образом, наша поверхность гомеоморфна сфере с g≥0 ручками и с s≥1 пленками Мебиуса. Оказывается, такая поверхность гомеоморфна сфере, к которой приклеено s+2g пленок Мебиуса (ручки приклеивать не надо). Другими словами, любая ручка на поверхности в присутствии хотя бы одной пленки Мебиуса эквивалентна двум пленкам Мебиуса. Убедимся в этом : Напоминание: приклейка ручки эквивалентна вырезанию 2х дырок и склейке из краев с учетом противоположной ориентации приклейка пленки Мебиуса эквивалентна вырезанию дырки и отождествлению диаметрально противоположных точек ее края 1. Вырежем все три дырки. 2. Разрежем поверхность по кривой, соединяющей точки на краю дырки, отвечающей пленке Мебиуса. (при этом кривая должна охватывать одну из двух дырок, отвечающих ручке и вместе с куском края дырки ограничивать область, гомеоморфную диску. 3. Из поверхности выпадет связный кусок. 4. Вклеим его назад так, чтобы совпали диаметрально противоположные точки на крае дырки, соответствующей пленке Мебиуса (вырезанный кусок выворачиваем «наизнанку») 5. На поверхности образовались три дырки — две были изначально (соответствовали ручке), а третья появилась из вновь проведенного разреза. 6. Склеим края этих дырок так, чтобы две бывшие ранее дырки склеились по краю с учетом одинаковой ориентации (направление изменилось в результате переворачивания вырезанного куса) 7. На крае третьей дырки отождествляем диаметрально противоположные точки. В результате этих операций к поверхность присоединяются три пленки Мебиуса. У меня следующие вопросы: 1.почему поверхность, к которой приклеивается цилиндр, гомеоморфна исходной поверхности? 2. почему вклейка в поверхность цилиндра эквивалентна вклейке двух пленок Мебиуса? Где можно прочитать еще про классификацию неориентируемых поверхностей? |
||
Вернуться к началу | ||
[ 1 сообщение ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |