Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 23 май 2014, 22:48 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2014, 18:34
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доказать, что уравнение [math]x(t)=t+\varepsilon x(t^{k})[/math], где [math]\varepsilon\in(0,1),~k>1[/math] имеет единственное решение в пространстве [math]C[0,1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 23 май 2014, 23:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Покажите, что [math]P(x(t))=t+\varepsilon x(t^k)[/math] — сжимающее отображение на [math]C[0,1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 12:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2014, 18:34
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
3D Homer писал(а):
Покажите, что [math]P(x(t))=t+\varepsilon x(t^k)[/math] — сжимающее отображение на [math]C[0,1][/math].

нужно показать d(P(x(t1)),P(x(t2)))<k*d(x(t1),x(t2)), 0<k<1, также? А что такое расстояние между P(x(t1)) и P(x(t2))? Отображение P:C[0,1]->C[0,1], т.е. это функция ограниченной вариации(сопряженное к С[0,1])? т.е. норму брать из BV[0,1]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 13:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Норма на [math]C[0,1][/math] -- это [math]\|f\|=\max_{x\in[0,1]}|f(x)|[/math]. Поэтому нужно показать, что [math]\|Px_1-Px_2\|\le\varepsilon\|x_1-x_2\|[/math], т.е. [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le d[/math] влечет [math]|(t+\varepsilon x_1(t^k))-(t+\varepsilon x_2(t^k))|\le\varepsilon d[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 14:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2014, 18:34
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
разве [math]\left| x_{1}\left( t \right)-x_{2}\left( t \right) \right|[/math], не тоже самое что [math]\left| (t+ \varepsilon x_{1}(t^{k} )) - (t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})) \right|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 16:03 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почему вы так думаете?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 17:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2014, 18:34
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x_{1}(t)=t+ \varepsilon x_{1}(t^{k})[/math]
[math]x_{2}(t)=t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})[/math]
или я чушь пишу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 17:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я прошу прощения за то, что ниже Латех не пишется нормально. Я не смог найти ошибки, и мне кажется, что виноват форум.

Давайте еще раз. Пространство [math]C[0,1][/math] является линейным нормированным пространством с нормой [math]\|x(t)\|=\max_{x\in[0,1]}|x(t)|[/math]. Cледовательно, оно является и метрическим пространством. Расстояние между двумя функциями [math]x_1(t)[/math] и [math]x_2(t)[/math] есть [math]\|x_1-x_2\|[/math]. Можно его обозначить через [math]d(x_1,x_2)[/math].

Рассмотрим оператор [math]P[/math] из второго сообщения. Он имеет единственную неподвижную точку [math]x(t)[/math] тогда и только тогда, когда [math]P(x)(t)=t+\varepsilon x(t^k)=x(t)[/math] для единственной функции [math]x(t)[/math], т.е. уравнение из первого сообщения имеет единственное решение.

Чтобы доказать, что [math]P[/math] имеет единственную неподвижную точку, применим теорему о сжимающем изображении. Нужно показать, что для любых функций [math]x_1,x_2\in C[0,1][/math] выполняется следующее: [math]d(P(x_1),P(x_2))\le\varepsilon d(x_1,x_2)[/math]. Для этого достаточно показать, что для любого числа [math]w[/math] и любого [math]t\in C[0,1][/math], если [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math], то [math]|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w[/math].

Для доказательства фиксируем произвольные функции [math]x_1,x_2\in C[0,1][/math] и числа [math]w[/math] и [math]t\in[0,1][/math] и предполагаем, что [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math]. Дальше предлагаю продолжить вам.

Пара замечаний.

Ileka писал(а):
x_{1}(t)=t+ \varepsilon x_{1}(t^{k})
x_{2}(t)=t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})
или я чушь пишу
Пока мы не знаем, что [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] — решения уравнения из сообщения № 1, поэтому нет причин для этих уравнений.

Ileka писал(а):
разве \left| x_{1}\left( t \right)-x_{2}\left( t \right) \right|, не тоже самое что \left| (t+ \varepsilon x_{1}(t^{k} )) - (t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})) \right|
Честно упростите [math](t+ \varepsilon x_{1}(t^{k} )) - (t+ \varepsilon x_{2}(t^{k}))[/math] и увидите, совпадает ли результат с [math]|x_1(t)-x_2(t)|[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали:
Ileka
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 20:22 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
23 май 2014, 18:34
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
так, фиксирую [math]x_{1}, x_{2}[/math] и числа [math]\omega[/math] и t. Пусть [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right|< \omega[/math] Распишем [math]\left| P(x_{1})(t)-P(x_{2}(t)) \right|=\left|(t+\varepsilon x_{1}(t^{k}))-(t+\varepsilon x_{2}(t^{k}))\right|=\left|\varepsilon x_{1}(t^{k})-\varepsilon x_{2}(t^{k})\right|=\varepsilon \left|x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k})\right| \leqslant \varepsilon \omega[/math] так теперь почему из того что [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right| \leqslant \omega[/math] следует что [math]\left| x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k}) \right| \leqslant \omega[/math] чет не ясно

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сжимающее отображение
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 20:36 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 июн 2013, 16:17
Сообщений: 2590
Cпасибо сказано: 104
Спасибо получено:
746 раз в 701 сообщениях
Очков репутации: 158

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще раз прошу прощения. Нужно было вместо
3D Homer писал(а):
Для этого достаточно показать, что для любого числа [math]w[/math] и любого [math]t\in C[0,1][/math], если [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math], то [math]|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w[/math].

написать
3D Homer писал(а):
Для этого достаточно показать, что для любого числа [math]w[/math], если [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math] для любого [math]t\in C[0,1][/math], то [math]|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w[/math] для любого [math]t\in C[0,1][/math].


То есть надо показать:

[math](\forall t\in[0,1].\;|x_1(t)-x_2(t)|\le w)\implies(\forall x\in[0,1].\;|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w)[/math].

Тогда отсюда будет следовать, что

[math]\|P(x_1)-P(x_2)\|\le\varepsilon\|x_1-x_2\|[/math],

что нам и нужно.

Ileka писал(а):
так, фиксирую [math]x_{1}, x_{2}[/math] и числа [math]\omega[/math] и t. Пусть [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right|< \omega[/math] Распишем [math]\left| P(x_{1})(t)-P(x_{2}(t)) \right|=\left|(t+\varepsilon x_{1}(t^{k}))-(t+\varepsilon x_{2}(t^{k}))\right|=\left|\varepsilon x_{1}(t^{k})-\varepsilon x_{2}(t^{k})\right|=\varepsilon \left|x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k})\right| \leqslant \varepsilon \omega[/math] так теперь почему из того что [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right| \leqslant \omega[/math] следует что [math]\left| x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k}) \right| \leqslant \omega[/math] чет не ясно


Если [math]t\in[0,1][/math], то [math]t^k\in[0,1][/math] т.к. [math]k>1[/math], поэтому если [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right| \leqslant w[/math] для всех [math]t\in[0,1][/math], то для любого [math]t\in[0,1][/math] выполняется

[math]\left| P(x_{1})(t)-P(x_{2}(t)) \right|=\varepsilon \left|x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k})\right| \leqslant \varepsilon w[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сжимающее отображение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Orazgul

2

217

24 апр 2020, 10:05

Является ли непрерывным отображение, сходимость, сжимающее

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Quinstant

1

350

09 янв 2017, 06:41

Отображение

в форуме Численные методы

druidich92

0

370

12 апр 2014, 06:04

Отображение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Lyuda

2

371

28 ноя 2017, 00:28

Отображение 7->3

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

5

238

01 июл 2019, 23:39

Отображение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

mentlv

12

296

30 апр 2020, 20:54

Отображение

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

in+yan

1

156

26 май 2020, 12:43

Липшицево отображение

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Mephisto

19

510

17 ноя 2022, 17:07

Линейное отображение

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Anastasiia

1

268

24 ноя 2015, 21:02

Конформное отображение

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Emma

2

548

29 ноя 2014, 10:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved