Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Ileka |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Покажите, что [math]P(x(t))=t+\varepsilon x(t^k)[/math] — сжимающее отображение на [math]C[0,1][/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
Ileka |
|
|
3D Homer писал(а): Покажите, что [math]P(x(t))=t+\varepsilon x(t^k)[/math] — сжимающее отображение на [math]C[0,1][/math]. нужно показать d(P(x(t1)),P(x(t2)))<k*d(x(t1),x(t2)), 0<k<1, также? А что такое расстояние между P(x(t1)) и P(x(t2))? Отображение P:C[0,1]->C[0,1], т.е. это функция ограниченной вариации(сопряженное к С[0,1])? т.е. норму брать из BV[0,1]? |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Норма на [math]C[0,1][/math] -- это [math]\|f\|=\max_{x\in[0,1]}|f(x)|[/math]. Поэтому нужно показать, что [math]\|Px_1-Px_2\|\le\varepsilon\|x_1-x_2\|[/math], т.е. [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le d[/math] влечет [math]|(t+\varepsilon x_1(t^k))-(t+\varepsilon x_2(t^k))|\le\varepsilon d[/math].
|
||
Вернуться к началу | ||
Ileka |
|
|
разве [math]\left| x_{1}\left( t \right)-x_{2}\left( t \right) \right|[/math], не тоже самое что [math]\left| (t+ \varepsilon x_{1}(t^{k} )) - (t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})) \right|[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Почему вы так думаете?
|
||
Вернуться к началу | ||
Ileka |
|
|
[math]x_{1}(t)=t+ \varepsilon x_{1}(t^{k})[/math]
[math]x_{2}(t)=t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})[/math] или я чушь пишу |
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Я прошу прощения за то, что ниже Латех не пишется нормально. Я не смог найти ошибки, и мне кажется, что виноват форум.
Давайте еще раз. Пространство [math]C[0,1][/math] является линейным нормированным пространством с нормой [math]\|x(t)\|=\max_{x\in[0,1]}|x(t)|[/math]. Cледовательно, оно является и метрическим пространством. Расстояние между двумя функциями [math]x_1(t)[/math] и [math]x_2(t)[/math] есть [math]\|x_1-x_2\|[/math]. Можно его обозначить через [math]d(x_1,x_2)[/math]. Рассмотрим оператор [math]P[/math] из второго сообщения. Он имеет единственную неподвижную точку [math]x(t)[/math] тогда и только тогда, когда [math]P(x)(t)=t+\varepsilon x(t^k)=x(t)[/math] для единственной функции [math]x(t)[/math], т.е. уравнение из первого сообщения имеет единственное решение. Чтобы доказать, что [math]P[/math] имеет единственную неподвижную точку, применим теорему о сжимающем изображении. Нужно показать, что для любых функций [math]x_1,x_2\in C[0,1][/math] выполняется следующее: [math]d(P(x_1),P(x_2))\le\varepsilon d(x_1,x_2)[/math]. Для этого достаточно показать, что для любого числа [math]w[/math] и любого [math]t\in C[0,1][/math], если [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math], то [math]|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w[/math]. Для доказательства фиксируем произвольные функции [math]x_1,x_2\in C[0,1][/math] и числа [math]w[/math] и [math]t\in[0,1][/math] и предполагаем, что [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math]. Дальше предлагаю продолжить вам. Пара замечаний. Ileka писал(а): x_{1}(t)=t+ \varepsilon x_{1}(t^{k}) Пока мы не знаем, что [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] — решения уравнения из сообщения № 1, поэтому нет причин для этих уравнений.x_{2}(t)=t+ \varepsilon x_{2}(t^{k}) или я чушь пишу Ileka писал(а): разве \left| x_{1}\left( t \right)-x_{2}\left( t \right) \right|, не тоже самое что \left| (t+ \varepsilon x_{1}(t^{k} )) - (t+ \varepsilon x_{2}(t^{k})) \right| Честно упростите [math](t+ \varepsilon x_{1}(t^{k} )) - (t+ \varepsilon x_{2}(t^{k}))[/math] и увидите, совпадает ли результат с [math]|x_1(t)-x_2(t)|[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю 3D Homer "Спасибо" сказали: Ileka |
||
Ileka |
|
|
так, фиксирую [math]x_{1}, x_{2}[/math] и числа [math]\omega[/math] и t. Пусть [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right|< \omega[/math] Распишем [math]\left| P(x_{1})(t)-P(x_{2}(t)) \right|=\left|(t+\varepsilon x_{1}(t^{k}))-(t+\varepsilon x_{2}(t^{k}))\right|=\left|\varepsilon x_{1}(t^{k})-\varepsilon x_{2}(t^{k})\right|=\varepsilon \left|x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k})\right| \leqslant \varepsilon \omega[/math] так теперь почему из того что [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right| \leqslant \omega[/math] следует что [math]\left| x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k}) \right| \leqslant \omega[/math] чет не ясно
|
||
Вернуться к началу | ||
3D Homer |
|
|
Еще раз прошу прощения. Нужно было вместо
3D Homer писал(а): Для этого достаточно показать, что для любого числа [math]w[/math] и любого [math]t\in C[0,1][/math], если [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math], то [math]|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w[/math]. написать 3D Homer писал(а): Для этого достаточно показать, что для любого числа [math]w[/math], если [math]|x_1(t)-x_2(t)|\le w[/math] для любого [math]t\in C[0,1][/math], то [math]|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w[/math] для любого [math]t\in C[0,1][/math]. То есть надо показать: [math](\forall t\in[0,1].\;|x_1(t)-x_2(t)|\le w)\implies(\forall x\in[0,1].\;|P(x_1)(t)-P(x_2)(t)|\le\varepsilon w)[/math]. Тогда отсюда будет следовать, что [math]\|P(x_1)-P(x_2)\|\le\varepsilon\|x_1-x_2\|[/math], что нам и нужно. Ileka писал(а): так, фиксирую [math]x_{1}, x_{2}[/math] и числа [math]\omega[/math] и t. Пусть [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right|< \omega[/math] Распишем [math]\left| P(x_{1})(t)-P(x_{2}(t)) \right|=\left|(t+\varepsilon x_{1}(t^{k}))-(t+\varepsilon x_{2}(t^{k}))\right|=\left|\varepsilon x_{1}(t^{k})-\varepsilon x_{2}(t^{k})\right|=\varepsilon \left|x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k})\right| \leqslant \varepsilon \omega[/math] так теперь почему из того что [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right| \leqslant \omega[/math] следует что [math]\left| x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k}) \right| \leqslant \omega[/math] чет не ясно Если [math]t\in[0,1][/math], то [math]t^k\in[0,1][/math] т.к. [math]k>1[/math], поэтому если [math]\left| x_{1}(t)-x_{2}(t) \right| \leqslant w[/math] для всех [math]t\in[0,1][/math], то для любого [math]t\in[0,1][/math] выполняется [math]\left| P(x_{1})(t)-P(x_{2}(t)) \right|=\varepsilon \left|x_{1}(t^{k})-x_{2}(t^{k})\right| \leqslant \varepsilon w[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сжимающее отображение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
2 |
217 |
24 апр 2020, 10:05 |
|
Является ли непрерывным отображение, сходимость, сжимающее
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
1 |
350 |
09 янв 2017, 06:41 |
|
Отображение
в форуме Численные методы |
0 |
370 |
12 апр 2014, 06:04 |
|
Отображение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
2 |
371 |
28 ноя 2017, 00:28 |
|
Отображение 7->3
в форуме Размышления по поводу и без |
5 |
238 |
01 июл 2019, 23:39 |
|
Отображение | 12 |
296 |
30 апр 2020, 20:54 |
|
Отображение | 1 |
156 |
26 май 2020, 12:43 |
|
Липшицево отображение
в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия |
19 |
510 |
17 ноя 2022, 17:07 |
|
Линейное отображение
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
1 |
268 |
24 ноя 2015, 21:02 |
|
Конформное отображение | 2 |
548 |
29 ноя 2014, 10:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |