Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
nvp |
|
|
Я заочник, сейчас готовлюсь к сдаче зачета. Несколько задач остались для меня непонятными :\ Помогите, пожалуйста, разобраться и решить задачки! 1. В линейном пространстве [math]H_{1}[/math] [a, b] (пространство функций, бесконечно дифференцируемых на a, b?): [math]( x, y ) =[/math] [math]\int\limits_{a}^{b} [x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt[/math] . Является ли пространство [math]H_{1}[/math] гилбертовым? 2. Доказать, что функционал [math]\langle{x, f}\rangle = \int\limits_{-1}^{1} x(t)dt- x(0)[/math] в пространстве C [-1; 1] является линейным непрерывным и найти его норму. 3. Является ли оператор A: C[0;1] [math]\to[/math] C[0;1] Ax(t) = tx(t) вполне непрерывным? По поводу задачки (2). Оператор является непрерывным, если для всех [math]{X_{n}}[/math] верно, что из [math]X_{n} \to X_{0}[/math] следует [math]f(X_{n}) \to f(X_{0})[/math]. Так же существует утверждение, что из непрерывности в точке х=0 следует непрерывность вообще. Можно ли применить это к функционалу (который, как я понимаю, является частным случаем оператора)? Если да, то доказательство непрерывности сводится к тому, что мне необходимо доказать следствие сходимости f(x) из сходимости последовательности Х, взяв при этом [math]X_{0}=0[/math]? Накладывает ли пространство C[-1; 1] какие-то ограничения на непрерывность?.. А как доказывается непрерывность функционала? И как искать норму? По поводу задачки (3). Вполне непрерывный оператор, согласно определению, это тот, который переводит замкнутый единичный шар Х в компактное множество Y. Стоит ли действовать по определению или же есть какие-то утверждения или теоремы? По поводу задачки (1). Гильбертово пространство - линейное нормированное пространство, полное относительно нормы [math]\left\| x \right\| = \sqrt{(x,x)}[/math]. То, что оно линейное - следует из условия. То, что определено скалярное произведение - тоже (ведь то, что мне дано (x,y)=... - это ведь скалярное произведение, да? ). Как тут доказать полноту относительно нормы? Подскажите, пожалуйста, в каком направлении вообще двигаться и как решить эти 3 задачки? Заранее спасибо большое за помощь! |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1. Гильбертово пространство должно быть полным.
2. Достаточно доказать ограниченность функционала и найти наименьшую константу [math]C[/math] в неравенстве [math]\left|{\left\langle{x,f}\right\rangle}\right| \leqslant C\left\| x \right\|[/math] 3. Используйте теорему Арцело-Асколи. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: nvp |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |