Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задачки по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 17 май 2014, 15:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 май 2014, 15:06
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый день, уважаемые форумчане!
Я заочник, сейчас готовлюсь к сдаче зачета. Несколько задач остались для меня непонятными :\ Помогите, пожалуйста, разобраться и решить задачки!

1. В линейном пространстве [math]H_{1}[/math] [a, b] (пространство функций, бесконечно дифференцируемых на a, b?):
[math]( x, y ) =[/math] [math]\int\limits_{a}^{b} [x(t)y(t)+x'(t)y'(t)]dt[/math] . Является ли пространство [math]H_{1}[/math] гилбертовым?

2. Доказать, что функционал [math]\langle{x, f}\rangle = \int\limits_{-1}^{1} x(t)dt- x(0)[/math] в пространстве C [-1; 1] является линейным непрерывным и найти его норму.

3. Является ли оператор A: C[0;1] [math]\to[/math] C[0;1] Ax(t) = tx(t) вполне непрерывным?


По поводу задачки (2).
Оператор является непрерывным, если для всех [math]{X_{n}}[/math] верно, что из [math]X_{n} \to X_{0}[/math] следует [math]f(X_{n}) \to f(X_{0})[/math]. Так же существует утверждение, что из непрерывности в точке х=0 следует непрерывность вообще. Можно ли применить это к функционалу (который, как я понимаю, является частным случаем оператора)? Если да, то доказательство непрерывности сводится к тому, что мне необходимо доказать следствие сходимости f(x) из сходимости последовательности Х, взяв при этом [math]X_{0}=0[/math]? Накладывает ли пространство C[-1; 1] какие-то ограничения на непрерывность?..
А как доказывается непрерывность функционала? И как искать норму?

По поводу задачки (3).
Вполне непрерывный оператор, согласно определению, это тот, который переводит замкнутый единичный шар Х в компактное множество Y.
Стоит ли действовать по определению или же есть какие-то утверждения или теоремы?

По поводу задачки (1).
Гильбертово пространство - линейное нормированное пространство, полное относительно нормы [math]\left\| x \right\| = \sqrt{(x,x)}[/math].
То, что оно линейное - следует из условия. То, что определено скалярное произведение - тоже (ведь то, что мне дано (x,y)=... - это ведь скалярное произведение, да? ).
Как тут доказать полноту относительно нормы?

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении вообще двигаться и как решить эти 3 задачки?
Заранее спасибо большое за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Задачки по функциональному анализу
СообщениеДобавлено: 18 май 2014, 20:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Гильбертово пространство должно быть полным.
2. Достаточно доказать ограниченность функционала и найти наименьшую константу [math]C[/math] в неравенстве [math]\left|{\left\langle{x,f}\right\rangle}\right| \leqslant C\left\| x \right\|[/math]
3. Используйте теорему Арцело-Асколи.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
nvp
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Задачи по Функциональному анализу

в форуме Объявления участников Форума

Shikamaru

1

468

27 янв 2013, 21:18

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

TanyaGromik

3

486

24 дек 2013, 21:47

Семестровая по функциональному анализу.

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alyona000

0

305

27 май 2014, 01:37

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

vasyabogomol

1

140

01 апр 2017, 15:48

Помощь по функциональному анализу

в форуме Объявления участников Форума

gail-ul

0

115

17 май 2017, 20:21

Задания по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

seregaponarin

20

1813

16 сен 2013, 14:48

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Ilya96

20

228

16 окт 2017, 14:11

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Scofield

2

596

15 дек 2012, 21:12

Задача по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Raiden

1

132

19 янв 2018, 00:05

Задачи по функциональному анализу

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

frozx

10

1212

30 ноя 2012, 11:16


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved