Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Норма оператора в L2
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=32912
Страница 1 из 1

Автор:  milan0780 [ 29 апр 2014, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Норма оператора в L2

Просьба помочь с задачей:
Найти норму оператора A в пространстве [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math]
[math]Ax(t) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds[/math]
Начинаю как обычно: [math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds} \right|} }^2}dt}[/math]
Я попробовал преобразовать выражение под внутренним интегралом, получилось так: [math]2\sum\limits_{n > 0}^{} {{2^{ - n}}\cos (n(t - s))} x(s)[/math]. Видимо, нужно как-то оценить сумму? Намекните, что дальше делать :unknown:

Автор:  Prokop [ 30 апр 2014, 08:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Норма оператора в L2

Простое решение основано на использовании рядов Фурье.
Ответ (навскидку): [math]2 \pi[/math]

Автор:  milan0780 [ 04 май 2014, 17:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Норма оператора в L2

Prokop, можете немного поподробнее написать? Я так понимаю, надо разложить [math]x(s)[/math] по системе экспонент, получится так:
[math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}{e^{in(t - s)}}\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}}^{} {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x(s){e^{ - iks}}ds} } \right){e^{iks}}} } } } \right|}^2}ds} }[/math]
Как-то не очень ясно что с этим делать...

Автор:  Prokop [ 04 май 2014, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Норма оператора в L2

Ортонормированная система [math]\left\{{\frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}{e^{inx}}}\right\}[/math].
Обозначим через [math]F[/math] оператор[math]F^{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right) \to{l_2}[/math] сопоставляющий функции [math]x \in{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right)[/math] двустороннюю последовательность её коэффициентов Фурье по ортонормированной системе экспонент. Этот оператор (преобразование Фурье) сохраняет скалярное произведение.
Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math]
[math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math]
Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде
[math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math]
Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math]

Автор:  milan0780 [ 12 май 2014, 19:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Норма оператора в L2

Prokop писал(а):
Тогда исходный оператор можно записать в виде Учитывая что - изометрия, приходим к оценке нормы оператора в пространстве

Можете это поподробнее прокомментировать?

Автор:  milan0780 [ 24 май 2014, 15:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Норма оператора в L2

Prokop писал(а):
Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math]
[math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math]
Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде
[math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math]
Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math]

То есть [math]{\left\| A \right\|_{{L_2}}} = 2\pi \left\| {{F^{ - 1}}} \right\|\left\| D \right\|\left\| F \right\| = 2\pi {\left\| D \right\|_{{l_2}}}[/math] ?
А норма [math]D[/math] должна как-то оцениваться через норму в [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math]?

Автор:  Prokop [ 25 май 2014, 15:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Норма оператора в L2

1. Да
2. Норма [math]\left\| D \right\| _{l_2}[/math] равна максимальному члену последовательности [math]\left\{ 2^{-|n|} \right\}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/