Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Норма оператора в L2 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=34&t=32912 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | milan0780 [ 29 апр 2014, 20:34 ] |
Заголовок сообщения: | Норма оператора в L2 |
Просьба помочь с задачей: Найти норму оператора A в пространстве [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math] [math]Ax(t) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds[/math] Начинаю как обычно: [math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds} \right|} }^2}dt}[/math] Я попробовал преобразовать выражение под внутренним интегралом, получилось так: [math]2\sum\limits_{n > 0}^{} {{2^{ - n}}\cos (n(t - s))} x(s)[/math]. Видимо, нужно как-то оценить сумму? Намекните, что дальше делать |
Автор: | Prokop [ 30 апр 2014, 08:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Норма оператора в L2 |
Простое решение основано на использовании рядов Фурье. Ответ (навскидку): [math]2 \pi[/math] |
Автор: | milan0780 [ 04 май 2014, 17:54 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Норма оператора в L2 |
Prokop, можете немного поподробнее написать? Я так понимаю, надо разложить [math]x(s)[/math] по системе экспонент, получится так: [math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}{e^{in(t - s)}}\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}}^{} {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x(s){e^{ - iks}}ds} } \right){e^{iks}}} } } } \right|}^2}ds} }[/math] Как-то не очень ясно что с этим делать... |
Автор: | Prokop [ 04 май 2014, 20:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Норма оператора в L2 |
Ортонормированная система [math]\left\{{\frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}{e^{inx}}}\right\}[/math]. Обозначим через [math]F[/math] оператор[math]F^{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right) \to{l_2}[/math] сопоставляющий функции [math]x \in{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right)[/math] двустороннюю последовательность её коэффициентов Фурье по ортонормированной системе экспонент. Этот оператор (преобразование Фурье) сохраняет скалярное произведение. Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math] [math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math] Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде [math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math] Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math] |
Автор: | milan0780 [ 12 май 2014, 19:02 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Норма оператора в L2 |
Prokop писал(а): Тогда исходный оператор можно записать в виде Учитывая что - изометрия, приходим к оценке нормы оператора в пространстве Можете это поподробнее прокомментировать? |
Автор: | milan0780 [ 24 май 2014, 15:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Норма оператора в L2 |
Prokop писал(а): Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math] [math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math] Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде [math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math] Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math] То есть [math]{\left\| A \right\|_{{L_2}}} = 2\pi \left\| {{F^{ - 1}}} \right\|\left\| D \right\|\left\| F \right\| = 2\pi {\left\| D \right\|_{{l_2}}}[/math] ? А норма [math]D[/math] должна как-то оцениваться через норму в [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math]? |
Автор: | Prokop [ 25 май 2014, 15:52 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Норма оператора в L2 |
1. Да 2. Норма [math]\left\| D \right\| _{l_2}[/math] равна максимальному члену последовательности [math]\left\{ 2^{-|n|} \right\}[/math] |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |