  Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
MathHelpPlanet.com
|
|
Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
MathHelpPlanet.com
|
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
  |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| milan0780 |
|
||
29 апр 2014, 20:20 Сообщений: 25 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1   
|
Просьба помочь с задачей:
Найти норму оператора A в пространстве [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math] [math]Ax(t) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds[/math] Начинаю как обычно: [math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds} \right|} }^2}dt}[/math] Я попробовал преобразовать выражение под внутренним интегралом, получилось так: [math]2\sum\limits_{n > 0}^{} {{2^{ - n}}\cos (n(t - s))} x(s)[/math]. Видимо, нужно как-то оценить сумму? Намекните, что дальше делать  |
||
| Вернуться к началу |   |
||
 |
|||
| Prokop |
|
|||
14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
|
Простое решение основано на использовании рядов Фурье.
Ответ (навскидку): [math]2 \pi[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| milan0780 |
|
||
29 апр 2014, 20:20 Сообщений: 25 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Prokop, можете немного поподробнее написать? Я так понимаю, надо разложить [math]x(s)[/math] по системе экспонент, получится так:
[math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}{e^{in(t - s)}}\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}}^{} {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x(s){e^{ - iks}}ds} } \right){e^{iks}}} } } } \right|}^2}ds} }[/math] Как-то не очень ясно что с этим делать... |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Prokop |
|
|||
14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
|
Ортонормированная система [math]\left\{{\frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}{e^{inx}}}\right\}[/math].
Обозначим через [math]F[/math] оператор[math]F^{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right) \to{l_2}[/math] сопоставляющий функции [math]x \in{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right)[/math] двустороннюю последовательность её коэффициентов Фурье по ортонормированной системе экспонент. Этот оператор (преобразование Фурье) сохраняет скалярное произведение. Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math] [math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math] Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде [math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math] Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: milan0780 |
||||
|
||||
| milan0780 |
|
||
29 апр 2014, 20:20 Сообщений: 25 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Prokop писал(а): Тогда исходный оператор можно записать в виде Учитывая что - изометрия, приходим к оценке нормы оператора в пространстве Можете это поподробнее прокомментировать? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| milan0780 |
|
||
29 апр 2014, 20:20 Сообщений: 25 Cпасибо сказано: 6 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Prokop писал(а): Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math] [math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math] Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде [math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math] Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math] То есть [math]{\left\| A \right\|_{{L_2}}} = 2\pi \left\| {{F^{ - 1}}} \right\|\left\| D \right\|\left\| F \right\| = 2\pi {\left\| D \right\|_{{l_2}}}[/math] ? А норма [math]D[/math] должна как-то оцениваться через норму в [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math]? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Prokop |
|
|||
14 мар 2010, 14:56 Сообщений: 4584 Cпасибо сказано: 33 Спасибо получено: 2266 раз в 1751 сообщениях Очков репутации: 580
|
1. Да
2. Норма [math]\left\| D \right\| _{l_2}[/math] равна максимальному члену последовательности [math]\left\{ 2^{-|n|} \right\}[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |
|||
|
||||
|
|
[ Сообщений: 7 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
|
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
