Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 29 апр 2014, 21:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2014, 21:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Просьба помочь с задачей:
Найти норму оператора A в пространстве [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math]
[math]Ax(t) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds[/math]
Начинаю как обычно: [math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {{{\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}} } {e^{in(t - s)}}x(s)ds} \right|} }^2}dt}[/math]
Я попробовал преобразовать выражение под внутренним интегралом, получилось так: [math]2\sum\limits_{n > 0}^{} {{2^{ - n}}\cos (n(t - s))} x(s)[/math]. Видимо, нужно как-то оценить сумму? Намекните, что дальше делать :unknown:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 30 апр 2014, 09:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Простое решение основано на использовании рядов Фурье.
Ответ (навскидку): [math]2 \pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 04 май 2014, 18:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2014, 21:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, можете немного поподробнее написать? Я так понимаю, надо разложить [math]x(s)[/math] по системе экспонент, получится так:
[math]\left\| {Ax} \right\| = \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}}^{} {{2^{ - \left| n \right|}}{e^{in(t - s)}}\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}}^{} {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x(s){e^{ - iks}}ds} } \right){e^{iks}}} } } } \right|}^2}ds} }[/math]
Как-то не очень ясно что с этим делать...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 04 май 2014, 21:34 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ортонормированная система [math]\left\{{\frac{1}{{\sqrt{2\pi}}}{e^{inx}}}\right\}[/math].
Обозначим через [math]F[/math] оператор[math]F^{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right) \to{l_2}[/math] сопоставляющий функции [math]x \in{L_2}\left({- \pi ,\pi}\right)[/math] двустороннюю последовательность её коэффициентов Фурье по ортонормированной системе экспонент. Этот оператор (преобразование Фурье) сохраняет скалярное произведение.
Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math]
[math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math]
Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде
[math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math]
Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
milan0780
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 12 май 2014, 20:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2014, 21:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Тогда исходный оператор можно записать в виде Учитывая что - изометрия, приходим к оценке нормы оператора в пространстве

Можете это поподробнее прокомментировать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 24 май 2014, 16:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 апр 2014, 21:20
Сообщений: 25
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
Введём в пространстве последовательностей оператор [math]D[/math]
[math]D\left\{{{x_n}}\right\}= \left\{{{2^{- \left| n \right|}}{x_n}}\right\}[/math]
Тогда исходный оператор [math]A[/math] можно записать в виде
[math]A = 2\pi{F^{- 1}}DF[/math]
Учитывая что [math]F[/math] - изометрия, приходим к оценке нормы оператора [math]2\pi D[/math] в пространстве [math]l_2[/math]

То есть [math]{\left\| A \right\|_{{L_2}}} = 2\pi \left\| {{F^{ - 1}}} \right\|\left\| D \right\|\left\| F \right\| = 2\pi {\left\| D \right\|_{{l_2}}}[/math] ?
А норма [math]D[/math] должна как-то оцениваться через норму в [math]{L_2}[ - \pi ,\pi ][/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Норма оператора в L2
СообщениеДобавлено: 25 май 2014, 16:52 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2266 раз в 1751 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Да
2. Норма [math]\left\| D \right\| _{l_2}[/math] равна максимальному члену последовательности [math]\left\{ 2^{-|n|} \right\}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Antichny

2

624

10 июл 2014, 15:12

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Progilive

4

523

01 дек 2014, 16:12

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Irina_676

5

1000

30 окт 2013, 20:29

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Class

4

34

19 сен 2018, 15:10

Норма оператора в l1

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Zhan21

8

905

14 дек 2013, 14:41

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Alex185g

1

980

20 янв 2013, 13:50

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alex921

1

393

25 апр 2016, 23:09

Норма линейного оператора С[0,1]

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

torres070

2

728

27 окт 2013, 10:39

Норма линейного оператора и функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Kup3a

5

927

15 дек 2013, 00:21

Норма линейного оператора и функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Aisa

3

1481

17 дек 2013, 15:41


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved