Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 30 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
mugler02 |
|
|
Так как непрерывность равносильна ограниченности, оцениваем модуль с помощью неравенства Гёльдера: [math]\left| {f(x)} \right| = \left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)dt} } \right| \leqslant \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)} \right|dt} \leqslant \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| 1 \right|}^2}dt} } \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)} \right|}^2}dt} }[/math] Норма в пространстве Соболева имеет вид: [math]\left\| x \right\| = \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {{{\left| {x(t)} \right|}^2} + {{\left| {x'(t)} \right|}^2}} \right)} } dt[/math] В правой части предпоследнего выражения стоит как раз искомое значение нормы [math]\sqrt {2\pi }[/math]. Соответственно надо как-то оценить второй сомножитель нормой [math]\left\| x \right\|[/math]. Как это сделать? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Можно немного иначе. Обозначим [math]{\left\| \bullet \right\|_2}[/math] норму в [math]L_2[/math]
Тогда, используя неравенство Коши-Буняковского получим [math]\left|{f\left( x \right)}\right| \leqslant \int\limits_{- \pi}^\pi{\left|{x\left( t \right)\sin t}\right|dt}+ \int\limits_{- \pi}^\pi{\left|{x'\left( t \right)\cos t}\right|dt}\leqslant \left({{{\left\| x \right\|}_2}+{{\left\|{x'}\right\|}_2}}\right)\sqrt \pi \leqslant \sqrt{2\pi}\left\| x \right\|[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mugler02 |
||
mugler02 |
|
|
Prokop, поясните, пожалуйста, последний переход.
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
[math]\sqrt a + \sqrt b \leqslant \sqrt 2 \sqrt{a + b}[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mugler02 |
||
Prokop |
|
|
Сразу не сообразил. Можно было действовать как у Вас, используя стандартное скалярное произведение в двумерном пространстве.
[math]{\left|{x\left( t \right)\sin t + x'\left( t \right)\cos t}\right|^2}\leqslant \left({{{\left| x \right|}^2}+{{\left|{x'}\right|}^2}}\right)\left({{{\sin}^2}t +{{\cos}^2}t}\right) ={\left| x \right|^2}+{\left|{x'}\right|^2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mugler02 |
||
mugler02 |
|
|
Prokop, спасибо. А какую бы теперь взять функцию, чтобы проверить, что равенство достигается?
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
[math]x\left( t \right) = \sin t[/math]
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mugler02 |
||
mugler02 |
|
|
Prokop, может, поможете ещё с одной задачкой?
Задача: Найти ортонормированную систему, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе [math]\left\{ {\sin nt} \right\}_{n = 1}^\infty[/math] в пространстве [math]W_2^1\left[ {0,\pi } \right][/math]. Доказать что полученная система является базисом в пространстве [math]\mathop {W_2^1}\limits^o \left[ {0,\pi } \right] = \left\{ {x \in W_2^1\left[ {0,\pi } \right]:x\left( 0 \right) = x\left( \pi \right) = 0} \right\}[/math]. Ортонормированную систему я нашёл: [math]\left\{ {\sqrt {\frac{2}{{\pi \left( {{n^2} + 1} \right)}}} \sin nt} \right\}_{n = 1}^\infty[/math]. Чтобы доказать что это базис, осталось доказать, что система полна. Как это сделать? |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
По определению. Пусть функция [math]x\left( t \right)[/math] из [math]\mathop{W_2^1}\limits^0[/math] ортогональна указанной системе. Тогда, интегрируя по частям, получим
[math]0 = \int\limits_0^\pi{\left({x\left( t \right)\sin nt + nx'\left( t \right)\cos nt}\right)dt}= \left({1 +{n^2}}\right)\int\limits_0^\pi{x\left( t \right)\sin ntdt}[/math] Это означает. что функция [math]x\left( t \right)[/math] имеет нулевые коэффициенты при разложении её в ряд Фурье по синусам в пространстве [math]{L_2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: mugler02 |
||
mugler02 |
|
|
Большое спасибо! Если Вас не затруднит, ещё вопрос: нужно найти множество [math]{M^ \bot }[/math] (аннулятор), если [math]M = \left\{ {x \in {L_1}[0,1]:x \in C(a),x(a) = 0} \right\}[/math]. По определению и по теореме о виде лин.функционала на сопряжённом пространстве , нужно найти такие [math]y \in {L_\infty }[0,1]:\int\limits_0^1 {x(t)y(t)dt = 0}[/math]. Далее пробую проинтегрировать по частям, но ничего разумного не получается .
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 30 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |