Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 11:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 дек 2013, 11:54
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задача: доказать непрерывность и найти норму функционала [math]f\left( x \right) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)dt}[/math] на пространстве Соболева [math]W_2^1\left[ { - \pi ,\pi } \right][/math].
Так как непрерывность равносильна ограниченности, оцениваем модуль с помощью неравенства Гёльдера:
[math]\left| {f(x)} \right| = \left| {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)dt} } \right| \leqslant \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)} \right|dt} \leqslant \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| 1 \right|}^2}dt} } \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {\left( {x(t)sin(t) + x'(t)\cos (t)} \right)} \right|}^2}dt} }[/math]
Норма в пространстве Соболева имеет вид: [math]\left\| x \right\| = \sqrt {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {{{\left| {x(t)} \right|}^2} + {{\left| {x'(t)} \right|}^2}} \right)} } dt[/math]
В правой части предпоследнего выражения стоит как раз искомое значение нормы [math]\sqrt {2\pi }[/math]. Соответственно надо как-то оценить второй сомножитель нормой [math]\left\| x \right\|[/math]. Как это сделать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 12:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно немного иначе. Обозначим [math]{\left\| \bullet \right\|_2}[/math] норму в [math]L_2[/math]
Тогда, используя неравенство Коши-Буняковского получим
[math]\left|{f\left( x \right)}\right| \leqslant \int\limits_{- \pi}^\pi{\left|{x\left( t \right)\sin t}\right|dt}+ \int\limits_{- \pi}^\pi{\left|{x'\left( t \right)\cos t}\right|dt}\leqslant \left({{{\left\| x \right\|}_2}+{{\left\|{x'}\right\|}_2}}\right)\sqrt \pi \leqslant \sqrt{2\pi}\left\| x \right\|[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mugler02
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 12:35 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 дек 2013, 11:54
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, поясните, пожалуйста, последний переход.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 12:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sqrt a + \sqrt b \leqslant \sqrt 2 \sqrt{a + b}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mugler02
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 12:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сразу не сообразил. Можно было действовать как у Вас, используя стандартное скалярное произведение в двумерном пространстве.

[math]{\left|{x\left( t \right)\sin t + x'\left( t \right)\cos t}\right|^2}\leqslant \left({{{\left| x \right|}^2}+{{\left|{x'}\right|}^2}}\right)\left({{{\sin}^2}t +{{\cos}^2}t}\right) ={\left| x \right|^2}+{\left|{x'}\right|^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mugler02
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 15:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 дек 2013, 11:54
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, спасибо. А какую бы теперь взять функцию, чтобы проверить, что равенство достигается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 15:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]x\left( t \right) = \sin t[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mugler02
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 17:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 дек 2013, 11:54
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop, может, поможете ещё с одной задачкой? :)
Задача: Найти ортонормированную систему, полученную в результате применения процесса ортогонализации Грама-Шмидта к системе [math]\left\{ {\sin nt} \right\}_{n = 1}^\infty[/math] в пространстве [math]W_2^1\left[ {0,\pi } \right][/math]. Доказать что полученная система является базисом в пространстве [math]\mathop {W_2^1}\limits^o \left[ {0,\pi } \right] = \left\{ {x \in W_2^1\left[ {0,\pi } \right]:x\left( 0 \right) = x\left( \pi \right) = 0} \right\}[/math].
Ортонормированную систему я нашёл: [math]\left\{ {\sqrt {\frac{2}{{\pi \left( {{n^2} + 1} \right)}}} \sin nt} \right\}_{n = 1}^\infty[/math]. Чтобы доказать что это базис, осталось доказать, что система полна. Как это сделать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 17:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 15:56
Сообщений: 4578
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2262 раз в 1749 сообщениях
Очков репутации: 579

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По определению. Пусть функция [math]x\left( t \right)[/math] из [math]\mathop{W_2^1}\limits^0[/math] ортогональна указанной системе. Тогда, интегрируя по частям, получим
[math]0 = \int\limits_0^\pi{\left({x\left( t \right)\sin nt + nx'\left( t \right)\cos nt}\right)dt}= \left({1 +{n^2}}\right)\int\limits_0^\pi{x\left( t \right)\sin ntdt}[/math]
Это означает. что функция [math]x\left( t \right)[/math] имеет нулевые коэффициенты при разложении её в ряд Фурье по синусам в пространстве [math]{L_2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mugler02
 Заголовок сообщения: Re: Доказать непрерывность и найти норму функционала
СообщениеДобавлено: 28 апр 2014, 19:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
24 дек 2013, 11:54
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо! Если Вас не затруднит, ещё вопрос: нужно найти множество [math]{M^ \bot }[/math] (аннулятор), если [math]M = \left\{ {x \in {L_1}[0,1]:x \in C(a),x(a) = 0} \right\}[/math]. По определению и по теореме о виде лин.функционала на сопряжённом пространстве , нужно найти такие [math]y \in {L_\infty }[0,1]:\int\limits_0^1 {x(t)y(t)dt = 0}[/math]. Далее пробую проинтегрировать по частям, но ничего разумного не получается :( .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

MementoMori

1

1406

26 май 2013, 17:21

Найти норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

shtormik02

1

395

21 апр 2015, 21:32

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

supin

2

40

10 ноя 2017, 19:18

Найти норму линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

viridesoul

1

111

28 май 2017, 14:57

Вычислить норму функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

rus565

10

1380

15 июн 2014, 20:47

C[0,1]->C[0,1] Ax(t)=x(t). Доказать линейность и найти норму

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

duducai007

1

235

05 ноя 2014, 00:18

Непрерывность линейного функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

nerviwki

1

353

11 авг 2015, 17:03

Непрерывность и сходимость функционала в ЛНП

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Stasya7

9

171

25 май 2016, 01:52

Доказать достижимость функционала

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

JuliaDulceFlor

4

303

22 дек 2012, 11:48

Доказать непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

DarkSoulina

2

281

09 июн 2013, 22:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved