Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 3 |
[ Сообщений: 21 ] | На страницу 1, 2, 3 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Isajan |
|
|
1.58) Пусть функция [math]f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/math] дифференцируема на [math]\mathbb{R}[/math] и [math]\inf_{t\in \mathbb{R}}|f ' (t)|\geqslant q > 1[/math]. Доказать, что уравнение [math]f(t)=t[/math] имеет единственное решение на [math]\mathbb{R}[/math]. 3.17 в) Сепарабельно ли [math]L_{2}(R)[/math]? Ответ в сборнике: да 5.17 в) Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве [math]X[/math], и найти его норму [math]X=L^{\infty},\quad f(x)=3x_{1}-x_{2}+2x_{4}[/math]. Ответ: [math]\|f\|=6[/math]. 9.2) Привести пример оператора, для которого существует левый обратный, но он не единственен. Привести пример оператора, для которого существует правый обратный, но он не единственен. 12.45) Привести пример последовательности операторов [math]\left\{A_{n}\}\subset B(X),\,n\in [1,\infty][/math] и оператора [math]A=\lim_{n \to \infty} A_{n}[/math] в банаховом пространстве [math]X\colon \sigma(A_{n})[/math] - единичная окружность, а [math]\sigma(A)[/math] - единичный круг. |
||
Вернуться к началу | ||
Isajan |
|
|
Как я решаю:
1.58) Полагаю воспользоваться этой теоремой Теорема(принцип сжимающихся отображений): Пусть [math](X,\rho)[/math] - полное, [math]{f \colon X \to X}, \rho (f(x),f(y)) \leqslant k* \rho (x,y)[/math], где [math]k \in (0,1)[/math],тогда существует и единственно решение уравнения x=f(x). нельзя |f(x)-f(y)|= |f ' (h)|*|x-y| => ? 3.17 в) Рассмотрим многочлены с рациональными коэффициентами. P(X)=[math]a_{n}x^{n}+...+a_{0}[/math], где [math]a_{k} \in \mathbb{Q}[/math]. Пусть [math]f \in L_{2}(R)[/math] => Не знаю, как дальше. Определение, найденное в интернете: Пространством [math]L_{2}[/math] называется пространство комплекснозначных или действительных функций интегрируемых на множестве R с квадратом. 5.17 в) линейность очевидна, [math]||f(x)||=\sup_{k \geqslant 1} |f(x^{k} | \leqslant \sup_{k \geqslant 1}(3|x_{1}^{k}|+|x_{2}^{k}|+2|x_{4}^{k}|) \leqslant 6*||x||[/math]. Здесь, не знаю, как правильно обозначать иксы, так как супремум берется по координатам вектора, кажется. => [math]||f||\leqslant 6[/math] => ограничен => непрерывен. А как получить обратную оценку не знаю. Пусть x=1 => ? |
||
Вернуться к началу | ||
grigoriew-grisha |
|
|
Isajan писал(а): Как я решаю: Во дает! А какие многочлены лежат в [math]f \in L_{2}(R)[/math]? ... 3.17 в) Рассмотрим многочлены с рациональными коэффициентами. P(X)=[math]a_{n}x^{n}+...+a_{0}[/math], где [math]a_{k} \in \mathbb{Q}[/math]. Пусть [math]f \in L_{2}(R)[/math] => Не знаю, как дальше. ... |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали: Isajan |
||
Isajan |
|
|
Спасибо за ответ, Гриша.
Определение, найденное в интернете: Пространством [math]L_{2}(R)[/math] (здесь, я забыл написать R) называется пространство комплекснозначных или действительных функций интегрируемых на множестве R с квадратом. Я думал так: многочлены - это функции, а функциями с рациональными коэффициентами можно приблизить функции от вещественных коэффициентов, (т.е., думал решать также как и [math]L_{2}[/math], но теорему Лузина тут не применишь по-моему, поскольку нельзя написать [math]\leqslant ||f-g1||+||g1-g2||+||g2-g3||[/math] , где [math]g1 \in C[0,1][/math] , g2 и g3 какие-то еще, этот трюк семинарист один раз показывал, но я не записал до конца. Тут, как бы, С(R), а в теореме Лузина С[0,1] (из нее следует, что [math]||f-g1|| \leqslant \varepsilon[/math] ). Вторая норма меньше эпсилон по Теореме Вейерштрасса, но не записано почему именно. |
||
Вернуться к началу | ||
Isajan |
|
|
Да, наверное, я должен идти в другом направлении. Думаю, пытаться решать, как-то через интегралы с мерами. Тогда не понятно, какое множество в исходном всюду плотно. Не знаю, правильно ли определение.
|
||
Вернуться к началу | ||
grigoriew-grisha |
|
|
Сепарабельность [math]L_{2}(R)[/math] следует из того, что мера Лебега на прямой имеет счетный базис. Откройте любой учебник по ТФДП или функану - там все будет подробно расписано. Наконец, в матане это тоже доказывается при изучении рядов Фурье.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали: Isajan |
||
Isajan |
|
|
Вернуться к началу | ||
Isajan |
|
|
Тут, думаю, годное решение задачи 3.17 в), проверте на наличие ошибок, если можно. Использовал книгу Колмагорова-Фомина. Семинарист сказал, что все будет досконально спрашивать (в плане понимания).
Есть вопросы: 1) Предел в смысле [math]\rho (f,g)=||f-g||[/math] это как? (Это значит, что [math]\rho (f,g)< \epsilon[/math] при [math]n-> \infty[/math] ?) 2) В конце: f со звездой есть функция вида [math]\sum \limits_{1}^{ \infty }y_{n} * \mu (E_{n})[/math]. Почему из того, что базис меры [math]\mu[/math] кольцо, следует это утверждение? Я понял так, надо было апроксимировать, апроксимировали, вот и все, а зачем писать последнее предложение не понимаю. |
||
Вернуться к началу | ||
grigoriew-grisha |
|
|
Основное вы написали правильно, некоторые детали написаны шероховато, но на зачет - тянет.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали: Isajan |
||
Isajan |
|
|
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Isajan "Спасибо" сказали: dair |
||
На страницу 1, 2, 3 След. | [ Сообщений: 21 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |