Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 03:15 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Нужно решить следующие задачки (из сборника П.А. Бородина):

1.58) Пусть функция [math]f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/math] дифференцируема на [math]\mathbb{R}[/math] и [math]\inf_{t\in \mathbb{R}}|f ' (t)|\geqslant q > 1[/math]. Доказать, что уравнение [math]f(t)=t[/math] имеет единственное решение на [math]\mathbb{R}[/math].

3.17 в) Сепарабельно ли [math]L_{2}(R)[/math]? Ответ в сборнике: да

5.17 в) Доказать, что указанный функционал является линейным и непрерывным на указанном пространстве [math]X[/math], и найти его норму
[math]X=L^{\infty},\quad f(x)=3x_{1}-x_{2}+2x_{4}[/math]. Ответ: [math]\|f\|=6[/math].

9.2) Привести пример оператора, для которого существует левый обратный, но он не единственен. Привести пример оператора, для которого существует правый обратный, но он не единственен.

12.45) Привести пример последовательности операторов [math]\left\{A_{n}\}\subset B(X),\,n\in [1,\infty][/math] и оператора [math]A=\lim_{n \to \infty} A_{n}[/math] в банаховом пространстве [math]X\colon \sigma(A_{n})[/math] - единичная окружность, а [math]\sigma(A)[/math] - единичный круг.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 04:36 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как я решаю:
1.58) Полагаю воспользоваться этой теоремой
Теорема(принцип сжимающихся отображений): Пусть [math](X,\rho)[/math] - полное, [math]{f \colon X \to X}, \rho (f(x),f(y)) \leqslant k* \rho (x,y)[/math], где [math]k \in (0,1)[/math],тогда существует и единственно решение уравнения x=f(x).
нельзя |f(x)-f(y)|= |f ' (h)|*|x-y| => ?
3.17 в) Рассмотрим многочлены с рациональными коэффициентами. P(X)=[math]a_{n}x^{n}+...+a_{0}[/math], где [math]a_{k} \in \mathbb{Q}[/math]. Пусть [math]f \in L_{2}(R)[/math] => Не знаю, как дальше.
Определение, найденное в интернете: Пространством [math]L_{2}[/math] называется пространство комплекснозначных или действительных функций интегрируемых на множестве R с квадратом.
5.17 в) линейность очевидна, [math]||f(x)||=\sup_{k \geqslant 1} |f(x^{k} | \leqslant \sup_{k \geqslant 1}(3|x_{1}^{k}|+|x_{2}^{k}|+2|x_{4}^{k}|) \leqslant 6*||x||[/math]. Здесь, не знаю, как правильно обозначать иксы, так как супремум берется по координатам вектора, кажется. => [math]||f||\leqslant 6[/math] => ограничен => непрерывен. А как получить обратную оценку не знаю. Пусть x=1 => ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 10:17 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Isajan писал(а):
Как я решаю:
...
3.17 в) Рассмотрим многочлены с рациональными коэффициентами. P(X)=[math]a_{n}x^{n}+...+a_{0}[/math], где [math]a_{k} \in \mathbb{Q}[/math]. Пусть [math]f \in L_{2}(R)[/math] => Не знаю, как дальше.
...
Во дает! А какие многочлены лежат в [math]f \in L_{2}(R)[/math]? :ROFL:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
Isajan
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 12:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за ответ, Гриша.
Определение, найденное в интернете: Пространством [math]L_{2}(R)[/math] (здесь, я забыл написать R) называется пространство комплекснозначных или действительных функций интегрируемых на множестве R с квадратом.
Я думал так: многочлены - это функции, а функциями с рациональными коэффициентами можно приблизить функции от вещественных коэффициентов, (т.е., думал решать также как и [math]L_{2}[/math], но теорему Лузина тут не применишь по-моему, поскольку нельзя написать [math]\leqslant ||f-g1||+||g1-g2||+||g2-g3||[/math] , где [math]g1 \in C[0,1][/math] , g2 и g3 какие-то еще, этот трюк семинарист один раз показывал, но я не записал до конца. Тут, как бы, С(R), а в теореме Лузина С[0,1] (из нее следует, что [math]||f-g1|| \leqslant \varepsilon[/math] ). Вторая норма меньше эпсилон по Теореме Вейерштрасса, но не записано почему именно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 13:01 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, наверное, я должен идти в другом направлении. Думаю, пытаться решать, как-то через интегралы с мерами. Тогда не понятно, какое множество в исходном всюду плотно. Не знаю, правильно ли определение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 13:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сепарабельность [math]L_{2}(R)[/math] следует из того, что мера Лебега на прямой имеет счетный базис. Откройте любой учебник по ТФДП или функану - там все будет подробно расписано. Наконец, в матане это тоже доказывается при изучении рядов Фурье.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
Isajan
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 21 дек 2013, 23:26 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 00:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут, думаю, годное решение задачи 3.17 в), проверте на наличие ошибок, если можно. Использовал книгу Колмагорова-Фомина. Семинарист сказал, что все будет досконально спрашивать (в плане понимания).
Есть вопросы:
1) Предел в смысле [math]\rho (f,g)=||f-g||[/math] это как? (Это значит, что [math]\rho (f,g)< \epsilon[/math] при [math]n-> \infty[/math] ?)
2) В конце: f со звездой есть функция вида [math]\sum \limits_{1}^{ \infty }y_{n} * \mu (E_{n})[/math]. Почему из того, что базис меры [math]\mu[/math] кольцо, следует это утверждение? Я понял так, надо было апроксимировать, апроксимировали, вот и все, а зачем писать последнее предложение не понимаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 00:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
18 окт 2013, 09:30
Сообщений: 1217
Откуда: из-за гор.
Cпасибо сказано: 14
Спасибо получено:
135 раз в 126 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Основное вы написали правильно, некоторые детали написаны шероховато, но на зачет - тянет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю grigoriew-grisha "Спасибо" сказали:
Isajan
 Заголовок сообщения: Re: Функан:Единственное решение, l2(R),норма оператора, левый об
СообщениеДобавлено: 22 дек 2013, 00:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
17 дек 2013, 17:25
Сообщений: 64
Cпасибо сказано: 30
Спасибо получено:
3 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Isajan "Спасибо" сказали:
dair
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3  След.  Страница 1 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Функан. Найти норму оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Kseniya11

0

483

13 июн 2015, 18:39

Норма оператора в L2

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

milan0780

6

2081

29 апр 2014, 20:34

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Antichny

2

1103

10 июл 2014, 14:12

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Progilive

4

896

01 дек 2014, 15:12

Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Class

4

513

19 сен 2018, 14:10

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

julia127

8

488

19 ноя 2021, 23:37

Ограниченность оператора и его норма

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

zxc12232

0

259

15 дек 2019, 14:37

Норма линейного оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

alex921

1

1106

25 апр 2016, 22:09

Функциональный анализ. Норма оператора

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

miland

2

292

11 дек 2020, 18:33

Норма оператора в банаховом пространстве

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

Serega4444

1

366

18 янв 2015, 14:44


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 11


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved